タクシー数(その8)、(その９)で実2次体の整数の5乗数の和で2通りに表される例を多数見た。
そのためには、
を満たす解(k,δ,b)のうちδ≠0かつ、t,t’>0となる解を求めればよかった。ここで
である。この時、t,t'が有理数の平方であれば、整数の5乗数の和で2通りに表される例が求められるこ
とになる。
とおけば 
である。これを最初の式に代入すると、
これを展開して整理すると、
したがって、この式の解で(u,k,δ)でδ≠0なる解を求めればよい。
δ=0となる解としては、以下がある。
ｊは有理数
として元の方程式に代入しjとδの方程式としδで割ると，
これを満たす解があれば、整数の5乗数の和で2通りに表される例が求められるということになるかな。
タクシー数 その8 で、実2次体の整数の5乗数の和で２とおりに表される例を示した。ここでは、そのような例をたくさん見つける方法を検討する。
タクシー数 その８ での議論で
…(A)
の有理数解 k, δ, b について
とするとき、
である。δ≠0かつ 
であれば、これらが相違なる数であることがわかる。
したがって、この仮定の下でt, t'>0となる解k, δ, bを求めればよい。
なお、
のとき、
である。
（A) 式の左辺は
であるので、 
とおく時
…（B)
の有理数解y>0,k, δについてy-f(k,δ)>0であればt>0となる。
同様に、y-f(k,-δ)>0であればt'>0となる。
よって、f(k,δ)<0かつf(k,-δ)<0となる（B) の解を見つければ、実2次体の5乗数の和であらわされる数が求まる（これは十分条件であって必要条件ではない)。
なお、の条件は、
となる。
f(k,δ)<0かつf(k,-δ)<0となる範囲は下図の青色の部分である。
よって、（B) の解で、この範囲に入る(k,δ)を見つければ、実2次体の整数の5乗和で2通りに表わせる例が見つかる。
タクシー数 その8によれば、mを有理数として
であれば、（B) は(δ,y）に関する楕円曲線となり、有理点を探すことが容易になる。
-0.72<k<0となるmはおおよそ1<m<5もしくは-1<m<-0.2である。
ここで、mと-1/mに対するkの値は同一であることを考えれば、1<m<5の場合のみを考えればよい。
そこで、いくつかの1≦m<5について計算してみた。その結果が下表である。
* ：（B) で定まる(δ,y)の4次楕円曲線をタクシー数その8の方法でWeierstrass標準形に変換したときにCoCalcで求めた無限位数の生成元の数
*2：*で説明したWeierstrass標準形の有理点群の無限位数の生成元
*3：左欄の生成元を1~7倍したときに、その数から元の4次楕円曲線の有理点(δ,ｙ）を求め、t,t'のどちらかが正とならない場合を×、両方とも正であるが、f(k,δ)またはf(k,-δ)の双方は負ではない場合を●、双方とも負である場合○とし、左から右に結果を並べた。なお、7倍までで○が出ない場合は、より多く試したケースもある。
*4：この欄の値は近似値。kが水色の範囲に入るかどうか判断しやすくするために表示した。
このように幾つか試したケースでは、上図の水色の範囲に入るkの場合は必ず〇となる、つまりf(k,δ)<０かつf(k,-δ)<0となる有理数解が存在する。また、そうならなくとも、実2次体の整数の5乗和で2通りであらわせる、つまり●となる有理数解が数多く存在する。
一例として、m=4, k=-84/325のとき、有理点(70176/8125,5457408/528125)を選ぶと、上表で最初が〇である。この有理点より、δ＝28/143が求まる。
これからs,s',t,t’を求め通分すると、
が得られる。
上記水色の範囲の有理数kを指定すれば、水色の範囲に入る(k,δ)が存在するか、つまり有理点を何倍かすればδの絶対値は十分小さくなるのだろうか。もし、そうであれば、実2次体整数の5乗和で2通りに表せる例が無限に存在しそうである。
タクシー数(その4）で
となることをみた。これとタクシー数(8)でみたこととの関係はどうなっているのだろうか。
タクシー数(8)でみたように
であるので、
より、
同様に
より
よって、
つまり、タスク―数(8)でtまたはt’が非正になるとして除外したケースに相当する。
タクシー数 その6と7で行った6乗数の和であらわされる2次体の整数を10乗数の場合で行ってみる。その意図は5乗数の和で2通りに表されるケースの探索である。
よって、α=a β=√m とおくと
したがって、
(1)
とおくと
(1)でx+y=s, xy=t とおくと
この右辺を
とおく時
なる整数の組を求める。
この時、
となることに注意する。
したがって、かつt及びt'が正となる相違なる整数の組を見つければ、異なる実2次体の整数の5乗和として表される数が見つかることになる(タクシー数その4で2次体の整数の5乗和として表わされる例を示したが、一方は複素数であった）。
さらにt, t'が平方数であれば異なる整数の5乗数の和としてあらわされる数が見つかることとなる。
今、s=s'とするとよりt=t'または
となる。後者の場合、tもしくはt'は非正となる。したがって、以降s≠s'とする。この時、有理数a,bを用いて、
の形であらわせるとしてよい。すると
を整理すると
両辺を 
で割り整理すると
ここで上式がsとs'の対称式であることに注意し、
とおき整理すると
これをβの2次方程式とみれば、有理数解をもつことから判別式は有理数γの2乗である。よって、
… (A)
（A)の解(α,γ)を用いると
………… （B)
ここでα=ka とおくと、（A）式は
………… （C)
両辺を
で割り、
をそれぞれ
と考えれば、a=1としてよい。
この時、(B)式は
s,s'は
の解であるので、
は有理数δの2乗となる。すなわち、
このγを（C)式に代入すると、a＝1に注意すれば、
これを整理して
左辺の中括弧内をb'とすれば、δを定数と考えkに関する4次曲線(有理点があれば、4次楕円曲線)ともみなせるし、kを定数と考えればδに関する4次曲線である。
δについては3次及び1次の項がないので、以後、kを定数と考え、δに関する4次曲線として考えることとする。
この時、定数項が有理数の平方であれば、δ＝0となる有理点を有する。定数項は
であるので
となるケースを求めると有理数mにより、
とあらわされる。
ここで、4次楕円曲線の記事で述べた方法により、4次楕円曲線を3次のWeierstrass標準形に変換し、CoCalc (SageMathCloud) http://www.sagemath.org/ を用いて、有理点を探した。
m＝2のとき、k＝-132/221,δ=-100/221,b=13752/48841 なる解があり、
s=-116/221, t=1572/48841, s’= -16/221, t’=616/2873 となる。これより、
分母を払い共通因子で割り、符号を調整すると
を得る。
t及びt’が平方数となる例は、まだまだ見つからない。
楕円曲線といえばWeierstrassの標準形の
もしくは
の形で通常扱われるが、４次の楕円曲線もあるようだ。
タクシー数(その7)で４次の楕円曲線
が出てきたので、3次と4次の楕円曲線はどのような関係にあるのか少し調べてみた。
結論から言うと、有理点を有する4次楕円曲線は、双有理変換でWeierstrass標準形に変換できる。
例えば、インターネットで見られる”Elliptic Curve Handbook, Ian Connell, February,1999”
のP105に出ている。これを追ってみると、
有理点(μ, ν)＝(p,q)を持つ４次楕円曲線はμをμ＋pに置き換えて
としてよい。このとき、Weierstrass標準形への変換は、
ここで、 
とするとき、、Weierstrass標準形を満たす。
逆変換は
で与えられる。
このとき、
は, 
に変換される。
これをタクシー数(その7）で出てきた4次楕円曲線に適用すると以下のとおりである。
ひとつずつ追ってみると
➀ 
もともとの４次楕円曲線は有理点(1，36)を持つので、x座標が０となるようにした。
② 
上記のWeierstrass標準形への変換
に注意すればよい。
③ 
xの2乗の係数が０となるWeierstrassの標準形への変換
である。
の変換で、有理点(1,36)→無限遠点 、(－35,29052)→(2920,145376）となる。
Weierstrassの標準形の楕円曲線の場合は、オープンソースの数式処理システムsageにより、
簡単に有理点が求められる。Sageの処理結果によると、3次曲線の有理点のなする群は
ZxZｘZ/2Z であり、P1,P2をZxZの、TをZ/2Zの生成元とすると
P1=(-308, 9568), P2=(1720,52624), T=(-216,0)
である。Sageで絶対値の小さなl,m,nについて、3次曲線の有理点を求め、上の変換式を用いて
4次曲線の有理点に変換し、そこからタクシー数(その7)の方法で6乗数と3乗数の和で2通りに
表せる数を求めてみた。その結果は下表のとおりである。
すべて6乗数と3乗数がすべて自然数の組み合わせは3つのみであった(黄色で網掛け)。
なかなか、そのような組み合わせを作るのは難しいかもしれない。なお、これらの
数値の計算には、CoCalc (SageMathCloud) http://www.sagemath.org/ を用いた。
