メモ7 (ある楕円曲線の有理数解 その２）

　メモ6で　p=113のとき、　の位数∞の有理数解について記した。これは、本ブログの4次楕円曲線　その2　で述べた予想

　　　(予想)

　　　素数pがp≡±1　(mod8)のとき、次の楕円曲線C

            

　　　の有理数解のなすアベール群のランクは1である。

 

に関連していることを示した。ここでは、ある条件で得られるp≡1(mod8)　の素数について、楕円曲線

 

　　　　　　　　(A)

 

の位数無限大の有理数解を求める方法を記す。

　楕円曲線(A)　は

　　

とも書ける。ここで、　と　　がともに有理数の平方になるようなTが求まれば楕円曲線（A) の有理解が求まることになる。そこでCocalcを用いてpが小さい場合に生成元及びその2倍を求めてみた。

 

 このように生成元も若しくはその2倍について、　及び　　がともに有理数の平方になることが期待される。そこで、正の有理数a,bを用いて

　

とおき、Tを消去すると

　

　 と の分母の最小公倍数を　δ　とすれば

　　　　ただし、

である。よって、この方程式の整数解　をR,E,δ　のうち　　を満たすものを求めれば楕円曲線（A) の有理点が求まることになる。

 

　上の表で　　及び　　が　ともに有理数の平方となる有理点についてR,E,δを求めδ, R+E, R-Eを記したのが下表である。なお、δ, R, Eはすべて自然数とする。

この表より　と書けることが期待される。そこで以下と仮定する。

そのとき、

      の自然数解　R,E,δ　について　　が平方数であれば

　は楕円曲線（A)の有理点である。

 

　まず、

RとEが互いに素な場合、の自然数解　R,E,δ　は自然数m,nを用いて

　

と書けることに注意する（RとEが素でない場合について、最後の(追記:2019.5.12)を参照)。

　　のとき、　　より

　　　　　

　　のときは、

　　　　　

である。したがって、R＋EおよびR-Eは平方数と平方数×2のペアであることがわかるが、上表を見ると p=41及び113,137以外は、平方数がpの2乗を因子を含むことが特徴的である。p=41及び113,137の場合も生成元の2倍を用いればR＋Eが平方数かつpの2乗の因子を含むことがわかる。そこで、以下の2つのケースを仮定して検討する (2x平方数の方がpの2乗の因子を含む場合は(追記：5.12)を参照)。

ケース1：R+Eが平方数でpの2乗の因子を含む

ケース2：R-Eが平方数でpの2乗の因子を含む

ケース1の場合：

 

なので、n=pn’ と分解される。したがって、pδ=2mnより、　よって

　 この条件はmとn'が平方数であれば満たされる。

    

より R-pδ　が平方数であるための条件を考える。まず,自然数　α,βにより

　

とあらわされる場合を考える。例えばn及びmが奇数の場合である。上表の場合はそうなっている。なお、この場合はnが偶数のとき、mも偶数となるので、mとnは互いに素ではなくなる。

m>nとすれば

　

したがって、mが平方数とすれば、自然数c,dにより

   

となる。このとき、

  がp×平方数となればすべての条件が満たされることになる。

m<nのときは

   

したがって、mが平方数とすれば、自然数c,dにより

   

となる。このとき、

　  がp×平方数となればすべての条件が満たされることになる。

 

以上より、ケース1の場合は、以下の(x,y)が有理点となる。

　 

ケース2の場合：

   

なので、n=pn’ と分解される。したがって、pδ=2mnより、よって

 　 この条件はm, n'が平方数であれば満たされる。

   

より R-pδ　が平方数であるためには,ケース1の場合と同様の考察により、自然数α,βにより

　  

とあらわされる。ケース2の場合は、ｍ＞ｎであるので、

　  

したがって、mが平方数とすれば、自然数c,dにより

     

となる。このとき、

　   がp×平方数となればすべての条件が満たされることになる。

以上より、ケース2の場合は、以下の(x,y)が有理点となる。

    

上表にあげたのはp=97を除き、すべてケース1の場合であった。

上の議論を振り返ると、ケース2はケース1でをーEに置き換えた場合に相当する。また、m>nとｍ<ｎの違いはβを-β、つまり、dを-dに置き換えた違いに他ならない。

したがって、cを自然数、dを整数としたときに、

    とおき、nがp×平方数の形になれば、以下の(x,y)が楕円曲線（A) の有理点となる。

    

次に

  

とあらわされる場合を考える。上に記した場合と同様議論を行うと

　 がp×平方数となればよい。このとき、以下の(x,y)が楕円曲線（A) の有理点となる。

    

　

　表1は、200以下のp≡1(8)の素数について、c,|d|が3000以下の時に、n'が自然数の平方になるケースを示したものである。なお、pに対応する(c,d)のペアは1つとは限らず、表はそのうちの一つのみ掲載している。あわせて上に示した式より有理点を具体的に求めた.

 

表2は、200以上1000以下のp≡1(8)の素数について、n'が自然数の平方になるケースを示したものである。なお、pに対応する(c,d)のペアは1つとは限らず、表はそのうちの一つのみ掲載している。

がp×平方数の形をしている場合は、である。

がp×平方数の形をしている場合も、である。

表からわかるように、1000以下の素数でもcまたは|d|はかなり大きな数となるようである。

このうち,857、977についてはCoCalcより求めた有理点より逆算した。また、929については、CoCalcでも求められなかった。

 

　結局、自然数c, 0ではない整数dに対し

　または　　がp×平方数の形をしていれば、楕円曲線　　は位数∞の有理点を持つことになる。

問題は、すべてのp≡1(8)の素数が、この条件を満たすかどうかである。

(2019.4.30 一部修正）

 

(追記：2019.5.3）

p=929のとき、CoCalcで　gens()　として楕円曲線（A) の有理点を求めるとうまくいかないが, 　これをgens(descent_second_limit=16)とすると解が求まった。limitのデフォルトは12 である。この解よりc,d,m,nを求め表2を補った。

 

(追記：2019.5.12)

・RとEが互いに素な場合、pで割りけるようである。その場合R/p, E/pをR,Eに置き換え同様の議論を行うと　　がpx平方数の場合に帰着する。

・2×平方数の方がpの2乗の因子を含む場合についても、詳細は省略するが、　　がpx平方数の場合に帰着する。