メモ8 （ある楕円曲線の整数解）

　q≠0,1の非負整数 

の位数∞の整数解について考える。結果を先に記すと以下のとおりである。 

 

(命題)　楕円曲線E： 　 q≠0,1の非負整数　の位数∞の整数解はqが以下のときに限り存在する。

　　　 　l,k: 自然数、n:0でない整数

このとき、は位数∞の整数解。また、　は位数2の整数解であり、

 　　　

(説明) 

(x,y)が楕円曲線Eの整数点とする。　(ｌは自然数、nの素因数の指数は1)　と平方数と非平方の積に分けると、　

　　　　は　　　(kは自然数)

でなければならない。したがって、

　 　　

より

　　　　

となる。nを-nとすれば求める式となる。この時

　　  　

よって、

　　　　

は、Eの整数点となる(位数∞であることは示す必要がある)。

 

 次に　PとQ= (1,0)を結ぶ直線の方程式は

　　　　

であり、この直線とEの交点のうちP,Q以外の点は 　 　である。

したがって、P+Qはこの座標のy座標の符号を逆転させた点である。　　　　　　　　　　　　(説明終)

 

この命題より、Pが整数点のとき　P+Q　も整数点になるのはkがlの倍数になっている時に限る。

また、Pの整数倍は整数点にはなりそうもない。よって、異なる(l,k,n)に対しqの値が同じになれば楕円曲線Eのランクが2以上になる可能性が高い。

 

簡単のために以下l=1とする。この時、

　

である。k,nの値が小さい場合のqの値を計算してみると下表のとおりである。

k  　　 n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	3	9	19	33	51	73	99	129	163
3	7	16	31	52	79	112	151	196	247
4	13	25	45	73	109	153	205	265	333
5	21	36	61	96	141	196	261	336	421
6	31	49	79	121	175	241	319	409	511
7	43	64	99	148	211	288	379	484	603
8	57	81	121	177	249	337	441	561	697
9	73	100	145	208	289	388	505	640	793

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(赤字は、素数)

この表より、素数ではq=73,31,79　について異なる(l,k,n)の組よりその値が得られる。そこで、上の命題より整数点を求めてみると、

 

●　q=73：

(l,k,n) = (1,6,2) のとき　P1=(-1,12) が整数点。　P1+Q=(37,216)

     　= (1,1,9)　のとき　P2=(-8, 9) が整数点。　P2+Q=(9,8)

であり、P1+P2=(499/49, -5760/343), P1-P2=(19,-72) となる。

CoCalcで計算すると、この場合の楕円曲線の有理点群のrankは2である。

 

●　q=31：

(l,k,n) = (1,3,3) のとき P1=(-2,9)が整数点。　P1+Q=(11，30)

　　　= (1,1,6) のとき　P2＝(-5,6)が整数点。　P2+Q＝(6，5)

であり、P1+P2=(9,-20), P1-P2=(33,-184)となる。

CoCalcで計算すると、この場合の楕円曲線の有理点群のrankは2である。

 

●　q=79：

(l,k,n) = (1,5,3) のとき　P1=(-2,15)が整数点。　P1+Q=(27,130)

         = (1,3,6) のとき P1=(-5,18)が整数点。　P2+Q=(14,39)

であり、P1+P2=(9,4),P1-P2=(129,-1456)となる。

CoCalcで計算すると、この場合の楕円曲線の有理点群のrankは2である。

 

なお、83 以外のq<100の素数で楕円曲線Eの有理点群のrankが2となるのはこの３つのみである。83については、Cocalcで計算結果が出なかった。

 

●　 q=421：

　(l,k,n)=(1,1,21), (1,5,12), (1,9,5), (2,7,4), (3,11,-3)　が条件を満たす。

　ここで が解ならば  も解、 が解ならば　 も解、なのでそのような解は除いた。他にも解があるかもしれない。

　CoCalcで計算すると、この場合の楕円曲線の有理点群のrankは3である。

 

　qをうまく定め、多くの整数点を有するようにすれば、対応する楕円曲線Eのrankは大きくなる可能性があると思われる。