タクシー数(その3）

　タクシー数(その2）で3通りの立方数の和としてあらわされる自然数を求めた。結果としてあまりに巨大な数しか出てこないので、もう少しうまくできないか考えてみる。

 

 

　タクシー数(その2)で記したように

 

　

とおくと

　

この時、　であれば、ともに正数である。

　したがって、

ただし、

となる自然数Mがあれば、

　

となり、3通りの立方数の和として表わされる自然数が得られる。

 

　そこで、100万以下の自然数で2通りに立方数の和としてあらわされる数43個のうち、立方数の差(ただし、）としてもあらわされる数があるかどうか調べた。

ちなみに、http://oeis.org/A001235/b001235.txt　に10,000番までのこのような数のリストがある。この表から調べた結果、以下の数のみが該当する。

 

 

　したがって、以下4,104の場合のみ考える。

この時、なので

　 

　であり、これらの最大公約数でこれらを割ると

　

を得る。これより

　

がわかる。少しまともな3通りに立方数の和としてあらわされる数が得られた。