タクシー数 その9

タクシー数　その8　で、実2次体の整数の5乗数の和で２とおりに表される例を示した。ここでは、そのような例をたくさん見つける方法を検討する。

 

タクシー数　その８　での議論で

　…(A)

 の有理数解　k, δ, b について

 

とするとき、

 

である。δ≠0かつ　であれば、これらが相違なる数であることがわかる。

したがって、この仮定の下でt, t'>0となる解k, δ, bを求めればよい。

なお、　のとき、　である。

 

（A) 式の左辺は

 

であるので、　とおく時

　…（B)

の有理数解y>0,k, δについてy-f(k,δ)>0であればt>0となる。

同様に、y-f(k,-δ)>0であればt'>0となる。

 

よって、f(k,δ)<0かつf(k,-δ)<0となる（B) の解を見つければ、実2次体の5乗数の和であらわされる数が求まる（これは十分条件であって必要条件ではない)。

なお、の条件は、となる。

 

f(k,δ)<0かつf(k,-δ)<0となる範囲は下図の青色の部分である。

 

よって、（B) の解で、この範囲に入る(k,δ)を見つければ、実2次体の整数の5乗和で2通りに表わせる例が見つかる。

タクシー数　その8によれば、mを有理数として

　

であれば、（B) は(δ,y）に関する楕円曲線となり、有理点を探すことが容易になる。

-0.72<k<0となるmはおおよそ1<m<5もしくは-1<m<-0.2である。

ここで、mと-1/mに対するkの値は同一であることを考えれば、1<m<5の場合のみを考えればよい。

そこで、いくつかの1≦m<5について計算してみた。その結果が下表である。

*　：（B) で定まる(δ,y)の4次楕円曲線をタクシー数その8の方法でWeierstrass標準形に変換したときにCoCalcで求めた無限位数の生成元の数

*2：*で説明したWeierstrass標準形の有理点群の無限位数の生成元

*3：左欄の生成元を1~7倍したときに、その数から元の4次楕円曲線の有理点(δ,ｙ）を求め、t,t'のどちらかが正とならない場合を×、両方とも正であるが、f(k,δ)またはf(k,-δ)の双方は負ではない場合を●、双方とも負である場合○とし、左から右に結果を並べた。なお、7倍までで○が出ない場合は、より多く試したケースもある。

*4：この欄の値は近似値。kが水色の範囲に入るかどうか判断しやすくするために表示した。

 

このように幾つか試したケースでは、上図の水色の範囲に入るkの場合は必ず〇となる、つまりf(k,δ)<０かつf(k,-δ)<0となる有理数解が存在する。また、そうならなくとも、実2次体の整数の5乗和で2通りであらわせる、つまり●となる有理数解が数多く存在する。

 

一例として、m=4, k=-84/325のとき、有理点(70176/8125,5457408/528125)を選ぶと、上表で最初が〇である。この有理点より、δ＝28/143が求まる。

これからs,s',t,t’を求め通分すると、

 

が得られる。

 

上記水色の範囲の有理数kを指定すれば、水色の範囲に入る(k,δ)が存在するか、つまり有理点を何倍かすればδの絶対値は十分小さくなるのだろうか。もし、そうであれば、実2次体整数の5乗和で2通りに表せる例が無限に存在しそうである。