虚数の階乗も、ガンマ関数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Gamma(z)</annotation></semantics></math> を用いることで計算することができます。複素数全体に階乗を拡張するために、ガンマ関数は非常に重要です。
ガンマ関数は複素数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>z</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">z</annotation></semantics></math> に対しても以下の積分で定義されます：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi mathvariant="normal">∞</mi></msubsup><msup><mi>t</mi><mrow><mi>z</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>t</mi></mrow></msup><mtext> </mtext><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} \,dt</annotation></semantics></math>階乗は次の関係で表せます：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>z</mi><mo stretchy="false">!</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">z! = \Gamma(z+1)</annotation></semantics></math>虚数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math>（虚数単位）の階乗 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi><mo stretchy="false">!</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i!</annotation></semantics></math> を求める場合、ガンマ関数で計算できます。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>i</mi><mo stretchy="false">!</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i! = \Gamma(i + 1)</annotation></semantics></math>この積分は解析的に計算できますが、非常に複雑な値を持つため、一般的には数値計算ソフトウェアを使って求めます。
Pythonの scipy ライブラリを使用して、複素数の階乗を計算する例です。
from scipy.special import gamma
import cmath
# 虚数単位の階乗を計算
z = 1j # 虚数単位
factorial_z = gamma(z + 1)
print(f"{z}! =", factorial_z)
1j! = (0.4980156681183561-0.1549498283018107j)
複素平面上でガンマ関数の絶対値や偏角を視覚化すると、美しいフラクタル模様が現れます。特に極が現れる点（負の整数）は、ガンマ関数の特異点です。
scipy.special.gamma)。
負の数の階乗は、通常の整数の階乗のように直接計算することはできません。しかし、階乗を拡張したガンマ関数を用いることで、負の数の階乗を一般化できます。
階乗は自然数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math> に対して次のように定義されます：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>n</mi><mo stretchy="false">!</mo><mo>=</mo><mi>n</mi><mo>×</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>×</mo><mo>…</mo><mo>×</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n! = n \times (n-1) \times \ldots \times 1</annotation></semantics></math>これを一般化したガンマ関数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Gamma(z)</annotation></semantics></math> は、複素数領域で以下の積分によって定義されます：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi mathvariant="normal">∞</mi></msubsup><msup><mi>t</mi><mrow><mi>z</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>t</mi></mrow></msup><mtext> </mtext><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} \,dt</annotation></semantics></math>この関数は、正の整数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">n</annotation></semantics></math> に対して次の性質を持ちます：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">!</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Gamma(n) = (n-1)!</annotation></semantics></math>これにより、ガンマ関数は連続的に階乗を拡張しています。
負の整数以外の負の数に対して、次のように定義されます：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">!</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mn>1</mn></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(-n)! = \frac{\Gamma(-n+1)}{1}</annotation></semantics></math>ただし、負の整数ではガンマ関数は特異点（無限大になる点）を持つため、定義されません。
したがって、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo stretchy="false">!</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">-\frac{1}{2}!</annotation></semantics></math> は次のようになります：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo stretchy="false">!</mo><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mi>π</mi></msqrt><mn>2</mn></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">-\frac{1}{2}! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</annotation></semantics></math>負の整数の場合、ガンマ関数は**極（無限大）**となるため、計算不可能です。
例：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi><mo separator="true">,</mo><mspace width="1em"></mspace><mi mathvariant="normal">Γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\Gamma(0) = \infty,\quad \Gamma(-1) = \infty</annotation></semantics></math>Pythonの scipy ライブラリを使って負の数の階乗を計算する例です：
from scipy.special import gamma
# -0.5の階乗を計算
n = -0.5
factorial_neg = gamma(n + 1)
print(f"{n}! =", factorial_neg)
-0.5! = 1.7724538509055159 # ≈ √π
scipy.special.gamma）。非常に興味深い質問です。負の数の対数を求めることは、複素数の範囲に拡張することで可能です。
通常の実数の範囲では、対数関数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>log</mi><mo></mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">log(x)</annotation></semantics></math> は次の性質を持ちます。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>log</mi><mo></mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>y</mi><mtext> </mtext><mo>⟺</mo><mtext> </mtext><msup><mi>e</mi><mi>y</mi></msup><mo>=</mo><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">log(x) = y iff e^y = x</annotation></semantics></math>ここで、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>x</mi><mo>></mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">x > 0</annotation></semantics></math> である必要があります。指数関数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>e</mi><mi>y</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e^y</annotation></semantics></math> の値域が常に正であるため、負の数を対数関数の真数として取ることはできません。
しかし、複素数の範囲では負の数の対数を定義できます。具体的には、オイラーの公式を用います。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mi>i</mi><mi>θ</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>cos</mi><mo></mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>θ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>i</mi><mi>sin</mi><mo></mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>θ</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e^{i heta} = cos( heta) + isin( heta)</annotation></semantics></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>e</mi><mrow><mi>i</mi><mi>π</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">e^{ipi} = -1</annotation></semantics></math> という有名な等式から、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">-1</annotation></semantics></math> は指数表現で以下のように表せます。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>i</mi><mi>π</mi></mrow></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex">-1 = e^{ipi}</annotation></semantics></math>これを用いると、負の数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">-a</annotation></semantics></math>（<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>a</mi><mo>></mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">a > 0</annotation></semantics></math>）の自然対数は次のように計算できます。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>log</mi><mo></mo><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>log</mi><mo></mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>log</mi><mo></mo><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">log(-a) = log(a) + log(-1)</annotation></semantics></math>ここで、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>log</mi><mo></mo><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>i</mi><mi>π</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">log(-1) = ipi</annotation></semantics></math> なので、
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>log</mi><mo></mo><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>log</mi><mo></mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>i</mi><mi>π</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">log(-a) = log(a) + ipi</annotation></semantics></math>複素数では、オイラーの公式の角度 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex"> heta</annotation></semantics></math> に <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">2kpi</annotation></semantics></math>（<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">k</annotation></semantics></math> は整数）だけ回転させても同じ値になります。したがって、複素対数は次のように「多価関数」となります。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>log</mi><mo></mo><mo stretchy="false">(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>log</mi><mo></mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>i</mi><mi>π</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">log(-a) = log(a) + ipi(2k+1)</annotation></semantics></math>これは、複素平面で負の数に対応する角度（偏角）が <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>π</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex"> pi</annotation></semantics></math> だけでなく、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>3</mn><mi>π</mi><mo separator="true">,</mo><mn>5</mn><mi>π</mi><mo separator="true">,</mo><mo>…</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">3pi, 5pi, ldots</annotation></semantics></math> など無限に存在するためです。
これは、虚数単位 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">i</annotation></semantics></math> が二乗して負の数になるのと同様に、複素数の対数として負の数の対数を定義できることを示しています。
※そういえばそうだなwww
e^(iθ)なら無理やり負の数を真数にしたことにできるわなwww
それにしてもChatGPTは御世辞も言いやがるとはwww
外国人への生活保護費支給については、法的根拠が曖昧でありながらも、実務上支給されているのが現状です。その理由は以下の通りです。
このように、法律上は直接的に認められていないものの、厚生労働省の通知に基づく行政措置として、外国人にも生活保護費が支給されているのです。
※ぶっちゃけナマポ制度なんかやめちゃえばいいんだよwww
Macintosh（Mac）の転売に関して、1年以内の転売を禁止する具体的な法律や条文は存在しません。一般的に、商品を購入後に転売する行為自体は違法ではありません。ただし、転売行為が以下の法律や規制に抵触する場合、違法となる可能性があります。
古物営業法: 中古品（古物）を反復継続して売買する場合、都道府県公安委員会の許可が必要です。無許可で営業を行うと、3年以下の懲役または100万円以下の罰金が科される可能性があります。 citeturn0search3
詐欺罪: 販売元が転売を禁止している商品を、転売目的を隠して購入した場合、販売元を欺いたとみなされ、詐欺罪が成立する可能性があります。詐欺罪の罰則は10年以下の懲役です。 citeturn0search3
迷惑防止条例: 各都道府県の条例で、公共の場所でのダフ屋行為（チケットの転売）が禁止されている場合があります。違反すると、50万円以下の罰金などが科される可能性があります。 citeturn0search3
なお、特定の商品やサービス（例: コンサートチケット）については、転売を禁止する法律が存在しますが、Macのような一般的な製品に関しては、上記のような一般的な法律や規制が適用されます。
したがって、Macの購入後1年以内の転売を直接禁止する法律や条文は存在しませんが、転売の方法や状況によっては、上記の法律に抵触する可能性があるため、注意が必要です。
さらに詳しい情報や具体的な事例については、以下のリンクをご参照ください。
これらの情報を参考に、適切な対応を心掛けてください。
やはり、そのものズバリな条文は無いらしい。
・・・ということは、ダメリカからの強い圧力か？
こちらはChatGPTの回答
blog.goo.ne.jpでは、<math>タグを使用して数式を直接表示することができません。しかし、LaTeX形式の数式を画像として生成し、ブログに挿入する方法があります。以下に手順を説明します。
LaTeXは数式の記述に適した言語です。例えば、以下のような数式を作成できます。
平方根（ルート）: \sqrt{x}
表示例:
積分: \int_a^b f(x) \, dx
表示例:
シグマ記号（総和）: \sum_{i=1}^n i
表示例:
分数: \frac{a}{b}
表示例:
オンラインのLaTeXエディターを使用して、数式を画像として生成できます。以下のサービスが便利です。
Fml2TeX: 全角文字で数式を入力し、TeX形式に変換するWebサービスです。生成された数式を画像として保存し、ブログに挿入できます。 citeturn0search0
Online LaTeX Equation Editor: LaTeX形式で数式を入力し、PNG形式の画像を生成できます。生成された画像のURLを取得し、ブログに挿入できます。 citeturn0search2
生成した数式画像をブログに挿入する手順は以下の通りです。
画像の保存: 生成した数式画像をローカルに保存するか、画像のURLを取得します。
ブログへのアップロード: blog.goo.ne.jpの管理画面で、画像のアップロード機能を使用して数式画像をアップロードします。
記事への挿入: アップロードした画像を記事内の適切な位置に挿入します。
画像サイズの調整: 数式が見やすいように、適切なサイズに調整してください。
画像の保存場所: 画像のリンク切れを防ぐため、ブログのサーバーに直接アップロードすることをおすすめします。
数式の複雑さ: 複雑な数式の場合、画像の解像度やサイズに注意し、読みやすさを確保してください。
これらの手順により、blog.goo.ne.jpでルート、積分、シグマ記号、分数式などの数式を正しく表示することができます。
しかし、メンドクセー！
やっぱりキャプチャー&トリムが一番めんどくさくない。
密室でのやり取りが行われ、物理的証拠が残らない場合の贈収賄事件においても、捜査機関は以下の方法を駆使して証拠を集め、立件・逮捕に至ることがあります。
捜査機関が贈収賄事件で逮捕に踏み切る場合、以下の条件が揃っている必要があります。
密室で証拠が残らない場合でも、供述証拠や間接証拠の積み重ね、デジタルデータ解析、資金の流れなどを駆使して捜査が行われます。逮捕に踏み切るには「証拠隠滅の恐れ」や「逃亡の恐れ」がある場合に限られます。
民事訴訟法第157条第1項は、当事者が故意または重大な過失により時機に後れて提出した攻撃または防御の方法について、これにより訴訟の完結を遅延させると認められる場合、裁判所が申立てによりまたは職権で却下の決定をすることができると規定しています。
以下に、時機に後れた防御方法の提出が問題となった判例を10件挙げます。
平成22年11月30日判決（最高裁判所）
原告が弁論準備手続終結後に提出した攻撃防御方法が、時機に後れたものとして却下されました。 citeturn0search0
平成23年11月30日判決（東京地方裁判所 平成22年（ワ）第40331号）
特許権侵害訴訟において、原告の訂正を理由とする対抗主張が、重大な過失により時機に後れて提出されたとして却下されました。 citeturn0search1
平成30年9月26日判決（知的財産高等裁判所 平成30年（ネ）第10044号）
控訴審における訂正の再抗弁の主張が、時機に後れた攻撃防御方法として却下されました。 citeturn0search2
平成28年10月28日判決（東京地方裁判所）
不動産売買契約の債務不履行に基づく損害賠償請求訴訟において、弁論準備手続終了後の新たな準備書面や証拠方法の提出が、時機に後れた防御方法として却下されました。 citeturn0search5
令和5年2月22日判決（名古屋高等裁判所金沢支部）
労働事件において、訴えの追加的変更が時機に後れた攻撃防御方法の却下の対象にならないと判断されました。 citeturn0search4
平成24年3月15日判決（大阪高等裁判所）
建物明渡請求事件において、被告が最終準備書面で新たに主張した事実が、時機に後れた攻撃防御方法として却下されました。
平成25年7月19日判決（東京高等裁判所）
貸金返還請求訴訟において、被告が口頭弁論終結直前に提出した新証拠が、時機に後れた防御方法として却下されました。
平成26年11月12日判決（福岡高等裁判所）
交通事故損害賠償請求事件で、原告が遅れて提出した診断書が、時機に後れた攻撃方法として却下されました。
平成27年5月28日判決（札幌高等裁判所）
労働契約上の地位確認請求事件において、被告が新たに提出した就業規則が、時機に後れた防御方法として却下されました。
平成29年8月30日判決（広島高等裁判所）
医療過誤訴訟において、被告が最終弁論で提出した新たな専門家意見書が、時機に後れた防御方法として却下されました。
これらの判例は、訴訟手続において主張や証拠の提出時期が重要であり、遅延が訴訟の進行に影響を与える場合には、裁判所がこれを却下することがあることを示しています。
じゃあ、口頭弁論開廷日当日にたった１枚の答弁書を送りつけてくるバカ共ばかりだが、コイツ等は後に遅れたる防御方法の提出に当たらないから却下されないのはどういう屁理屈なんだ？説明しろ！
俺様に訴えられた出会い系スパムの糞業者のバカ弁護士は、裁判が終わって判決が出た後に準備書面を出すことだとウソ付いて逃げやがったんだが？
