先日の続きです。
さてユークリッドの『原論』の幾何学は現代的立場からは不完全だと述べました。ではどう不完全なのか、現代的立場からのユークリッド幾何学とはどんなものなのかを述べてゆきたいと思います。
ユークリッド幾何学と言えばユークリッド(エウクレイデス)の『原論』に述べられた幾何学という意味もありますが、現代ではむしろ、曲率ゼロの空間の幾何学という意味が一般的でしょう。そして曲率ゼロの空間はユークリッド空間と呼ばれます。『原論』では、限られた数の公理や公準から全ての真なる命題を導くという方法論が世界で初めて確立されたのですが、実のところはヒルベルトらが始めた緻密な公理主義の立場からすると相当に不完全で穴だらけのものなのです。そこで公理主義の立場で構成し直した幾何学が、『幾何学基礎論』でヒルベルトが展開したもので、これは公理論的ユークリッド幾何学とも呼ばれます(Ref-3,第0章)。
多くの人が学ぶ初等幾何学(日本なら中学数学と高校数学)では、公理主義的方法論の概要については学ぶこともありますが、本当に緻密な組立はしません*1)。初等幾何学における初歩の様々な命題の中で、どれが公理でどれが定理かということは曖昧にしたままです。むしろこれら初歩の命題群を基礎として、つまりあたかも公理のように扱って、以後の証明問題に活用することに重きが置かれています。実用的にはこれは当然とも言えるスタンスで、初歩の命題をさらに公理論的に緻密に考えるというのは、かなり高度な話になってしまいます。つまり多くの人が学ぶ初等幾何学のスタンスというのは『原論』の幾何学とほぼ一致していると言っても良いでしょう。実際、初等幾何学の初歩の命題は、『原論』第一巻の公理・公準・命題に含まれています。そして公理論的ユークリッド幾何学は『原論』の幾何学とは相当に違っているのです。
実は公理論的ユークリッド幾何学と『原論』の幾何学との違いについては、ref-3が良い本です。色々な公理の成立するモデルと成立しないモデルが数多く例示されているので、直感的に理解しやすいのです。しかし論理記号に不慣れな人や数学基礎論になじみの薄い人には読みにくいかも知れません。骨のある本を読みたい人はref-6が良いかも知れません。
なお『原論』の邦訳は長くref1だけでしたが、最近になりref-2という良い本が出版されました。また命題群だけ知りたいのでしたら、以下のサイトが適切です。
http://mis.edu.yamaguchi-u.ac.jp/kyoukan/watanabe/elements/hyoushi/
また歴史的経緯について述べたref-5も出版されました。
続く
-------- References -----(2010/01/01記事)と同一------
1) 中村幸四郎、他 『ユークリッド原論』共立出版; 縮刷版(1996/6/1),ISBN-10: 4320015134
2) エウクレイデス(著),斎藤憲(訳),三浦伸夫(訳)『エウクレイデス全集-第1巻(1)』東京大学出版会(2008/01), ISBN-10: 4130653016
3) 溝上武実 『初等幾何入門―公理から考える』日本評論社(2005/09), ISBN-10: 4535784396
4) D.ヒルベルト(David Hilbert),中村幸四郎(訳)『幾何学基礎論 (ちくま学芸文庫)』筑摩書房 (2005/12) ISBN-10: 4480089535
5) 斎藤憲『ユークリッド『原論』とは何か―二千年読みつがれた数学の古典(岩波科学ライブラリー)』岩波書店 (2008/09), ISBN-10: 4000074881
6) 小林昭七『ユークリッド幾何から現代幾何へ (日評数学選書)』日本評論社 (1990/09) ISBN-10: 4535781761
－－－－－－－－－－－－－－
*1) 高校数学の学習指導要領では公理論的方法の項目があるのは以下の２つだけらしい。括弧内は、その指導要領が高校１年で使われていた年度である。
* 1960年度(S35)10月からのもの(1961-72)
* 1956年度(S31)からのもの(1956-60)
よって1973年度(S48)からの学習指導要領(いわゆる教育の現代化が取り入れられた)以降は「公理」というものは日本の中学高校の教科書では教えられていないようだ。
http://web1.kcg.edu/~k_emi/math/s-math.html
高校数学の学習指導要領の項目の変遷
http://web1.kcg.edu/~k_emi/math/birthday.pdf
学習指導要領と生まれた年度の対応…【重要】
さてユークリッドの『原論』の幾何学は現代的立場からは不完全だと述べました。ではどう不完全なのか、現代的立場からのユークリッド幾何学とはどんなものなのかを述べてゆきたいと思います。
ユークリッド幾何学と言えばユークリッド(エウクレイデス)の『原論』に述べられた幾何学という意味もありますが、現代ではむしろ、曲率ゼロの空間の幾何学という意味が一般的でしょう。そして曲率ゼロの空間はユークリッド空間と呼ばれます。『原論』では、限られた数の公理や公準から全ての真なる命題を導くという方法論が世界で初めて確立されたのですが、実のところはヒルベルトらが始めた緻密な公理主義の立場からすると相当に不完全で穴だらけのものなのです。そこで公理主義の立場で構成し直した幾何学が、『幾何学基礎論』でヒルベルトが展開したもので、これは公理論的ユークリッド幾何学とも呼ばれます(Ref-3,第0章)。
多くの人が学ぶ初等幾何学(日本なら中学数学と高校数学)では、公理主義的方法論の概要については学ぶこともありますが、本当に緻密な組立はしません*1)。初等幾何学における初歩の様々な命題の中で、どれが公理でどれが定理かということは曖昧にしたままです。むしろこれら初歩の命題群を基礎として、つまりあたかも公理のように扱って、以後の証明問題に活用することに重きが置かれています。実用的にはこれは当然とも言えるスタンスで、初歩の命題をさらに公理論的に緻密に考えるというのは、かなり高度な話になってしまいます。つまり多くの人が学ぶ初等幾何学のスタンスというのは『原論』の幾何学とほぼ一致していると言っても良いでしょう。実際、初等幾何学の初歩の命題は、『原論』第一巻の公理・公準・命題に含まれています。そして公理論的ユークリッド幾何学は『原論』の幾何学とは相当に違っているのです。
実は公理論的ユークリッド幾何学と『原論』の幾何学との違いについては、ref-3が良い本です。色々な公理の成立するモデルと成立しないモデルが数多く例示されているので、直感的に理解しやすいのです。しかし論理記号に不慣れな人や数学基礎論になじみの薄い人には読みにくいかも知れません。骨のある本を読みたい人はref-6が良いかも知れません。
なお『原論』の邦訳は長くref1だけでしたが、最近になりref-2という良い本が出版されました。また命題群だけ知りたいのでしたら、以下のサイトが適切です。
http://mis.edu.yamaguchi-u.ac.jp/kyoukan/watanabe/elements/hyoushi/
また歴史的経緯について述べたref-5も出版されました。
続く
-------- References -----(2010/01/01記事)と同一------
1) 中村幸四郎、他 『ユークリッド原論』共立出版; 縮刷版(1996/6/1),ISBN-10: 4320015134
2) エウクレイデス(著),斎藤憲(訳),三浦伸夫(訳)『エウクレイデス全集-第1巻(1)』東京大学出版会(2008/01), ISBN-10: 4130653016
3) 溝上武実 『初等幾何入門―公理から考える』日本評論社(2005/09), ISBN-10: 4535784396
4) D.ヒルベルト(David Hilbert),中村幸四郎(訳)『幾何学基礎論 (ちくま学芸文庫)』筑摩書房 (2005/12) ISBN-10: 4480089535
5) 斎藤憲『ユークリッド『原論』とは何か―二千年読みつがれた数学の古典(岩波科学ライブラリー)』岩波書店 (2008/09), ISBN-10: 4000074881
6) 小林昭七『ユークリッド幾何から現代幾何へ (日評数学選書)』日本評論社 (1990/09) ISBN-10: 4535781761
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*1) 高校数学の学習指導要領では公理論的方法の項目があるのは以下の２つだけらしい。括弧内は、その指導要領が高校１年で使われていた年度である。
* 1960年度(S35)10月からのもの(1961-72)
* 1956年度(S31)からのもの(1956-60)
よって1973年度(S48)からの学習指導要領(いわゆる教育の現代化が取り入れられた)以降は「公理」というものは日本の中学高校の教科書では教えられていないようだ。
http://web1.kcg.edu/~k_emi/math/s-math.html
高校数学の学習指導要領の項目の変遷
http://web1.kcg.edu/~k_emi/math/birthday.pdf
学習指導要領と生まれた年度の対応…【重要】
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