-論理体系の解剖-1.5- 定理を創る公理

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　以後、簡単化のために推論法則や定理を略号を付けて示していきます。まず、推論規則と公理を、その略号と共に再掲します。

　規1; 推論規則１)[→除去]　Ａ、Ａ→Ｂ |--- Ｂ　　　別名：正格法
　規2; 推論規則２)[∀導入]　Ａ |--- ∀ｘＡ　　　
　公1; 命題公理１)[→導入]　Ｂ→(Ａ→Ｂ)　
　公2; 命題公理２)　(Ａ→(Ｂ→Ｃ))→((Ａ→Ｂ)→(Ａ→Ｃ))　　別名：→の分配法則
　公3; 命題公理３)　(￢Ｂ→￢Ａ)→(Ａ→Ｂ)　　別名：対偶
　公4; 述語公理１)[∀除去]　∀ｘＦ(ｘ)→Ｆ(ｔ)
　公5; 述語公理２)　∀ｘ(Ａ→Ｆ(ｘ))→(Ａ→∀ｘＦ(ｘ))

　次に、「→」を「|---」に入れ替えることで、公理から導かれる推論法則を示します。これが成立することは既に示しました。
　法Ax1; 　Ｂ |--- (Ａ→Ｂ)　
　法Ax2; 　(Ａ→(Ｂ→Ｃ)) |--- ((Ａ→Ｂ)→(Ａ→Ｃ))
　法Ax3; 　(￢Ｂ→￢Ａ) |--- (Ａ→Ｂ)　　別名：対偶
　法Ax4; 　∀ｘＦ(ｘ) |--- Ｆ(ｔ)
　法Ax5; 　∀ｘ(Ａ→Ｆ(ｘ)) |--- (Ａ→∀ｘＦ(ｘ))

　では、いくつかの推論法則や定理の導入を見てみましょう。

法01; 仮言三段論法　Ａ→Ｂ、Ｂ→Ｃ |--- Ａ→Ｃ
1) Ａ→Ｂ　　　∵前提
2) Ｂ→Ｃ　　　∵前提
2-1) Ａ→(Ｂ→Ｃ)　　　　∵2に法Ax1適用 :Ax1のＢにＢ→Ｃを代入
2-2) (Ａ→Ｂ)→(Ａ→Ｃ)　∵2-1に法Ax2適用(分配法則)
3) Ａ→Ｃ　　　∵1、2-2、規1(正格法)

定01; 反射律　Ａ→Ａ
1) Ａ→(Ａ→Ａ)　　∵公1のＢにＡを代入
2) Ａ→((Ａ→Ａ)→Ａ)　　　∵公1のＡにＡ→Ａを、ＢにＡを代入
2-1) (Ａ→(Ａ→Ａ))→(Ａ→Ａ)　∵2に法Ax2適用(分配法則)
3) Ａ→Ａ　　　　　∵1、2-1、規1(正格法)

法02; 前提縮減？　Ａ→(Ａ→Ｂ) |--- Ａ→Ｂ
1) Ａ→(Ａ→Ｂ)　∵前提
1-1) (Ａ→Ａ)→(Ａ→Ｂ)　∵1に法Ax2適用(分配法則)
2) Ａ→Ａ　∵定理01(反射律)
3) Ａ→Ｂ　∵1-1、2、規1(正格法)

法03; 前提可換？　Ａ→(Ｂ→Ｃ) |--- Ｂ→(Ａ→Ｃ)
1) Ａ→(Ｂ→Ｃ)　∵前提
1-1) (Ａ→Ｂ)→(Ａ→Ｃ)　∵1に法Ax2適用(分配法則)
2) Ｂ→(Ａ→Ｂ)　∵公1
3) Ｂ→(Ａ→Ｃ)　∵2、1-1、法01(仮言三段)

　さてこれらの例を見て何かお気づきでしょうか？ 何だかパターンに共通性がありますね。

　最後の決めは正格法や仮言三段論法で、２つの前提から１つの結論を導きますが、その前に「→導入」や「→の分配法則」で、前提の中の命題を複雑化しています。言い換えると、短い論理式から長い論理式を作り出しています。すなわち、命題公理１と２を設定することで、いくらでも長い論理式を定理として作り出せる仕組みになっていたということです。

　特に命題公理１がおもしろいと思うのです。言葉で解釈すれば、「Ｂという事実があれば、前提Ａとして何を持ってこようが"Ａ→Ｂ"が成立する」となるでしょう。直観的に考えると(いや私の直観に過ぎないけど)、"Ａ→Ｂ"というのは観測しやすい事実Ａから観測にくい事実Ｂを推論するための道具であり、既知の事実Ｂから"Ａ→Ｂ"を導いても役に立たないだろうと思えますが、実は様々な定理を証明するのに非常に強力な手段になっています。いわば無から有を生み出すようなものです。

　公理の数を少なくするために、このような巧みな公理系を創り出したヒルベルトは実に創造性のある数学者だったと思います。それともこれは必然性を追求する優れた論理性の所以だったのでしょうか。