数学的実在とは－幾何学－7－原論と基礎論(5)

　前回の続きです。

　ところで３点３線モデルの３点をA,B,Cとし、「線分AB≡線分BC≡線分CA」とします。公理主義的に言えば、AB≡BC≡CAという公理を導入します。すると、A'=CおよびB'=Bと解釈すれば公理１の成立することがわかるでしょう。公理２の成立も簡単に確認できます。しかし１直線上には２点しかなく「間にある点」が存在しませんから公理３は意味がなくなります。そこで「間にある点」が存在するような有限点モデルである７点７線モデルを導入しておきましょう。

　このモデル図での７個の点は○で示しました。７個の線はそれぞれ３点を結んでいる６本の直線および、中央の円に見える線で示しました。円に見える(^_^)直線と他の直線との交点が６個あるように見えるかも知れませんが単なる錯覚で、実際には３個しかありません(・_・)キッパリ。また６本の直線の両端も無限遠点を介してつながっていると考えて下さい。ここで３点３線モデルでの合同関係同様に、全ての線分(７点７線モデルでは21本)が全て合同とすれば合同の公理1,2,3が成り立ちます。

　また直線のひとつを無限遠直線、その上の３点を無限遠点と考えることもできます。以下の図では無限遠直線を点線で表しました。


　つまり７点７線モデルは射影平面のモデルにもなりますが、瀬山士郎『幾何物語』(Ref-7;01/15記事)の図4.10(p165)にも見かけ上は違う形ながら本質的には同じモデルが示されていました。

　また結合関係だけに着目すれば、つまり結合の公理だけが成り立つモデルとして考えれば、以下のようなモデルも７点７線モデルと等価です。


　右図のジョッキとテーブルのモデルでは、例えばテーブルを点と考え同色のジョッキ全てを一体としてひとつの直線と考えます。そしてテーブル上にジョッキがあることを両者の結合と考えれば、右図は７点７線モデルと等価だとわかるでしょう。ヒルベルト曰く「点,直線,平面の代わりに,テーブル,椅子,ビールコップを使っても幾何学ができるはずだ」(*)。

*) 『幾何学基礎論』(Ref-4;01/15記事),p207[中村幸四郎による解説]


　　　続く