【5】
f(0)=1, f(1)=0で、f'(x)=nx^(n-1) -2
より、
０＜β=(2/n)^(1/(n-1))(n≧3)＜１
でf(x)が極値を持ち、
その前後で単調減少から単調増加に変わるとわかる。
だから、ある０＜ｘ＝α＜１で、f(α)＝０となる。
0＜f(1/2)=(1/2)^n ＜1 (n≧3)より、上の増減から、
1/2 ＜α---①
がいえる。
つづいて、α-1/2 ＜1/n ---②
を示したい。
f(α)＝0より、α＝(α^n + 1)/2だから、
②は、α^n/2＜1/nと同値。
ところで、0＜α＜1より、α^n＜α^(n-1) ③
f'(α)＜0⇔n・α^(n-1) - 2 ＜0 ④
であるから、
③④から、
α^n/2＜α^(n-1)/2 ＜1/n
よって、②が示せた。
【6】
一回の試行の後、二通りに分岐するが、それぞれ、k/nと、(n-k)/nの確率で分岐するから、その後の確率はそれぞれ、p(k+1)、p(k-1)であるから、
p(k) =(k/n)・p(k+1) + (1 -k/n)・p(k-1) (1≦k≦n-1)（答）
ただしp(0)=0、p(n)=1
k=1,2,3,・・・・,n-1を代入し、辺々加えると、
(2/n)(p1 + p2 + ・・・+ pn-1)= ((n-1)/n)・pn
したがって、
p1 + p2 + ・・・+ pn-1 = (n-1)/2 (n≧3) ---①
ここで、
p1 = p2/n ---②
および、①より、
p1 + p2 = 1 ---③
から、
p1=1/(n+1)
p2=n/(n+1)
と求まる・・・・・なんか変？？
【2】（2）
【4】の方針すら立っていないまま、30分経過・・・・
一旦終了。
f(0)=1, f(1)=0で、f'(x)=nx^(n-1) -2
より、
０＜β=(2/n)^(1/(n-1))(n≧3)＜１
でf(x)が極値を持ち、
その前後で単調減少から単調増加に変わるとわかる。
だから、ある０＜ｘ＝α＜１で、f(α)＝０となる。
0＜f(1/2)=(1/2)^n ＜1 (n≧3)より、上の増減から、
1/2 ＜α---①
がいえる。
つづいて、α-1/2 ＜1/n ---②
を示したい。
f(α)＝0より、α＝(α^n + 1)/2だから、
②は、α^n/2＜1/nと同値。
ところで、0＜α＜1より、α^n＜α^(n-1) ③
f'(α)＜0⇔n・α^(n-1) - 2 ＜0 ④
であるから、
③④から、
α^n/2＜α^(n-1)/2 ＜1/n
よって、②が示せた。
【6】
一回の試行の後、二通りに分岐するが、それぞれ、k/nと、(n-k)/nの確率で分岐するから、その後の確率はそれぞれ、p(k+1)、p(k-1)であるから、
p(k) =(k/n)・p(k+1) + (1 -k/n)・p(k-1) (1≦k≦n-1)（答）
ただしp(0)=0、p(n)=1
k=1,2,3,・・・・,n-1を代入し、辺々加えると、
(2/n)(p1 + p2 + ・・・+ pn-1)= ((n-1)/n)・pn
したがって、
p1 + p2 + ・・・+ pn-1 = (n-1)/2 (n≧3) ---①
ここで、
p1 = p2/n ---②
および、①より、
p1 + p2 = 1 ---③
から、
p1=1/(n+1)
p2=n/(n+1)
と求まる・・・・・なんか変？？
【2】（2）
【4】の方針すら立っていないまま、30分経過・・・・
一旦終了。
