相対性理論での運動方程式の誘導

　05/08の記事で予告した通り、相対論的運動方程式、式5と式6の誘導をしておきます。あるいはもっとスマートな誘導があるかも知れませんが、私が思いついたのは以下の手順です。

　運動量を次の式で定義する。
　　ｐ＝ｍ(ｄｘ/ｄτ)　　－－－　式1a　
　　　　＝ｍ(ｄｘ/ｄｔ)γ　　－－－　式1b)
　ただし、ｍは運動する質点の質量、ｔは静止系での時間、ｘは静止系での位置ベクトル、τは固有時
　　　ｄτ＝γｄｔ　　－－－　式2)
　また、γは簡略化のために定義した量
　　　γ＝{１－(ｖ/ｃ)²}^-1/2　　－－－　式3)

　運動方程式はｆを力として次のようになる。
　　ｆ＝ｄｐ/ｄｔ　　－－－　式4)

　ｐを代入して、α＝(ｄｘ/ｄｔ)とｆとの関係式を求めると、次の２式が得られる。
　ｆ＝ｍγ{(α)＋{(ｖ/ｃ)*(α/ｃ)}ｖγ²}　　－－－　式5)
　α＝(１/ｍγ){ｆ－(ｆ*(ｖ/ｃ))(ｖ/ｃ)}　　－－－　式6)


式5の誘導

　式4に式1aを代入して、微分の公式から
　ｆ/ｍ＝(ｄｖ/ｄｔ)γ＋ｖ(ｄγ/ｄｔ)
　　＝(ｄｖ/ｄｔ)γ＋ｖ(ｄ/ｄｔ){１－(ｖ/ｃ)*(ｖ/ｃ)}^(-1/2)
　　＝(ｄｖ/ｄｔ)γ＋ｖ{(ｖ/ｃ)*(ｄ(ｖ/ｃ)/ｄｔ)}γ³　　*1)
　　＝γ{(α)＋{(ｖ/ｃ)*(α/ｃ)}ｖγ²}　　　　　*2)

　ゆえに式5および、式5bが得られる
　ｆ/ｍγ＝(α)＋{(ｖ/ｃ)*(α/ｃ)}ｖγ²　　－－－　式5b)

式6の誘導

　式5bの両辺に(ｖ/ｃ)を内積として掛けて
　(1/ｍγ)(ｆ/ｃ)*(ｖ/ｃ)＝(α/ｃ)*(ｖ/ｃ)＋γ²{(ｖ/ｃ)*(α/ｃ)}{(ｖ/ｃ)*(ｖ/ｃ)}
＝(α/ｃ)*(ｖ/ｃ)＋γ²{(ｖ/ｃ)*(α/ｃ)}(ｖ/ｃ)²
＝(α/ｃ)*(ｖ/ｃ){１＋(ｖ/ｃ)²／(１－(ｖ/ｃ)²)}
＝(α/ｃ)*(ｖ/ｃ){１／(１－(ｖ/ｃ)²)}
＝(α/ｃ)*(ｖ/ｃ)γ²

　よって
　(α/ｃ)*(ｖ/ｃ)＝(1/ｍγ³)(ｆ/ｃ)*(ｖ/ｃ)　　－－－　式7)

　式7を式5bに代入すれば、
　(1/ｍγ)ｆ＝(α/ｃ)＋(1/ｍγ){(ｆ/ｃ)*(ｖ/ｃ)}ｖ

　これで式6が得られる

－－－－－－－－－
*1) ｖがスカラーなら微分公式の通りだが、ベクトルの内積でも成立することを確認する。
　(ｄ/ｄｔ){ｖ*ｖ}
　　＝(ｄ/ｄｔ){ｖ_x²＋ｖ_y²＋ｖ_z²}
　　＝２ｖ_x(ｄｖ_x/ｄｔ)＋２ｖ_y(ｄｖ_y/ｄｔ)＋２ｖ_z(ｄｖ_z/ｄｔ)
　　＝２ｖ*(ｄｖ/ｄｔ)
　で、成立している

*2) 内積項はスカラーなのでｖと交換可能だが、ｖ{ｖ*α}＝{ｖ*ｖ}α、とはならない。内積とスカラー同士の積を区別していないと、うっかり結合法則を適用してしまうかも知れない。