飲み会の集合場所とウンチク

サイコロを１０回振ったら６の目が１０回連続で出ました。
管理人です。

飲み会の集合場所です。
是非とも迷子にならないようにお願いします。

地図が大きいので別ウインドウで開きます。

ココを（地図）クリック！！

中心の赤○に＋が重ねて描かれている所です

一応集合時間も書いときます。
１８：１０ですよ！！


さてさて、最近更新できてなかったので久々に気合入れて更新を。

皆さんは確率とか期待値について知っていますよね。
ということで、ここから高校１～２年生くらいのお話です。

きっかけは地元の友達と話している最中の話でした。

こんなゲームをします。

①コインを投げます。
②裏が出るまで投げ続けます。
③表の回数をn回として、2のn乗の賞金がもらえます。

たとえば、5回連続して表が出たなら、32円もらえるというわけです。あなたがこのゲームに参加するとします。いくらまでなら参加料を払いますか？








ココからは僕を納得させてくれた友人の考察をほとんどコピペしたものです。
ちょっとスッキリしてみてください↓↓↓




この問に答えるには期待値を考えるわけですね。表にまとめると以下のようになる。



さて、それでは賞金の期待値を計算しましょう。



つまり、賞金は無限大だからいくら払っても絶対に得をする。

そんなわけあるかいな・・・直感的におかしな話です。どう考えても、表がそう何度も連続して出るわけがないのです。でも、計算にも死角はありそうにないです。どうしてこんなことになったのか。不思議ですね。


ここで話は終わったんだけど、ここで終わらせたらもったいない。ちょっと考えてみました。

さっきは賞金の期待値を出しました。それでは、表の出る回数の期待値を出してみましょう。



①の方法で投げた場合、途中から挙動が怪しくなってます。どうやら、偶数と奇数が等しい確率で出ていない・・・？
これが「正しく乱数でない」ということなのでしょうか？

②の場合、キレイに回数が半分ずつになっていきます。

この2つの差は、グラフで見れば一目瞭然です。




②は信用できそうなので、②を元に計算します。すると

* 連続表の回数平均は0.99999
* 賞金の平均は14.44円
* 13億回中2回が最高賞金2.7億円
* 賞金総額は188億円

という結果に。まぁいい結果です。

これで、計算が正しいことは証明されました。確かに、表は平均して1回しか連続で出ていません。ところが、賞金の平均はどうでしょう。15円。13億回やっても、15円。無限にはならない。どうなっているのでしょう。

これはこれで、正しい結果なのですが、要は考え方なのです。確かに、賞金の期待値は平均なのですが、これを無限大にしようと思うと、表が連続して出る数も無限大になる必要があります。ところが、そうなる確率は1/2の無限乗、つまり、0です。

先ほどの試行を考えて見ましょう。13億回の試行が行われました。13億といえば、日本の人口の10倍。つまり、日本人が全員10回ずつ試行をしたことになります。これだけ大規模な試行を行っても、表が連続して出る回数は最高が28回。無限には遠く及びません。

それもそのはず、確率を見れば一目瞭然なわけです。たとえば表が100回連続して出る確率は1/2の101乗です。言い換えると、2の101乗回のうち1回、出るかでないかです。これがどういうことかといいますと、地球上に昆虫は10^18匹いるそうなのですが

2^101/10^18～2.5*10^12

つまり、地球上の昆虫がそれぞれこの試行を2.5兆回やって、やっと1回出る、ということです。

あ、もしこれだけの回数試行したとしても、期待値は101/2=50円です＾＾


無限とか無理！ですよね。


分かってきたでしょうか？現実的な世界では、どうやっても期待値は無限には届きません。もちろん、計算上では可能ですが。




それでは、そろそろ結論を出しましょう。

一体いくらならやる価値があるのか？

それは、

①表が連続して出る平均は1回なので、3円以上なら損
②総回数が13億回ほどのクジならば、15円以上であれば損

このどちらかです。それよりもすごいのは、主催者側。仮にこのクジ、20円で開催したとしよう。それも13億回を誇る大規模開催。どうせ20円、みんなこぞってやるかもしれないです。すると、クジ代の収益が260億円。一方で、賞金総額はたかだか190億円。純利益は70億円。これはボロい商売ですね。まぁ、これだけ大規模なクジ、必要経費だけで大赤字ですが。


ま、結局は、20円以下くらいが妥当、ということですか。





↑↑↑さてさて、いかがだったでしょうか？
僕は結構面白い問題だと思うんですが。

では冒頭のあいさつ文を再度見てください。
アナタならどう考えますか？