ある組織-1-余の臣下の臣下は余の臣下ではない

　ある秘密めいた組織Ｖがあり、その構成員(以下、員と略します)の間には「直属の上下関係」というものがあります。員aの直属の上司が員bであることを、「a∈b」と書き表すことにします。これは、員aは員bの直属の部下であるとも言えます。直属でない間接的な上下関係というものは定められていませんので、以後、上司とか部下とか言えば、直属であると考えて下さい。員aの部下の部下は員aの部下ではないのです。

　一人の員が直属の部下を何人持っても構いません。また、人間の多くの組織とは異なり、一人の員が直属の上司を何人持っても構いません。ただし、ある員の集まりがあるとして、その集まりの全員だけを部下に持つ上司というのが、もし居るとすればそれは唯一人しか許されない、という規則があります。言い換えると、もし員aと員bの持つ部下が全員同じであるとすれば、実は員aと員bは同一人物であるということです。これはまた、ある員の部下を全員特定すれば、その員が唯一人に特定できるということでもあります。これを正確に示すために論理記号で表せば次のようになります。

規則１．　∀x(x∈a⇔x∈b)→a＝b

　「その集まりの全員だけを部下に持つ上司」では長いので、簡単に「員の集まりの上司」と呼ぶことにします。もちろん直属の上司です。
　この規則１のもとでは一見、員の集まりと員とが１対１に対応するように見えますが、そうではありません。まず、一人も部下のいない員がいるかも知れません。また員の集まりで、「その集まりの上司」がいない場合もあり得ます。「員の集まり自体」と「その集まりの上司」を混同しては拙いので、「員の集まり自体」はクラスと呼ぶことにします。特に「その集まりの上司」がいないクラスだけをクラスと呼ぶ場合もあります。


　ではこの組織には具体的にどんな員がいるのか。


　　　　　　　　図１

　一人も部下のいない員がいるかも知れないと書きましたが、実はそのような員が唯一人だけいて、φ(ファイ)という名を持っています。別名ゼロ(０)とも呼ばれます。ミスターゼロとはなかなか良い名前です。
　員φだけを部下とする員もいて１(イチ)と呼ばれています。員φと員１だけを部下とする員もいて２と呼ばれています。員φと員１と員２だけを部下とする員もいて３と呼ばれています。以下同様に続き、どんな自然数ｎについても、員φと員１と・・・員ｎだけを部下とする員もいて(ｎ+1)と呼ばれています。つまり自然数に対応するだけの無数の員がいることが判明しました。今紹介した員達はゼロから始まる自然数全てと１対１に対応しますので簡単に「自然数員」と呼ぶことにします。

　さて驚くべきことに、これら無数の「自然数員」の全員だけを部下とする員もいるのです。この員は普通ω(オメガ)と呼ばれています。さらに、ωとφだけを部下とする員もいて(ω+1)と呼ばれています。と、またまた続くのですが、その前に。

　例えば員４の部下は{φ,１,２,３}の４名です。この４名の中の何名かで作る集まり(クラス)は次の通りです。
　　{φ,１,２,３}
　　{φ,１,２}、{φ,１,３}、{φ,２,３}、{１,２,３}
　　{φ,１}、{φ,２}、{φ,３}、{１,２}、{１,３}、{２,３}
　　{φ}、{１}、{２}、{３}

　これらの15個のクラスにも全て上司がいますが、その15人の中にはすでに出てきた員もいます。つまり、クラス{φ,１,２,３}、{φ,１,２}、{φ,１}、{φ}の上司はそれぞれ４,３,２,１です。また、この中で員３を含まない７個のクラスは実は員３の部下である{φ,１,２}の３名で作られるクラスでもあります。員３を含むクラスの上司はいわば員４と同格と言えて、「ランクが４である」と呼ばれます。

　上の作り方でのランクｎの員の数は(２^n－２^(n-1))となることはわかりやすいでしょう。しかし、ランクｎの員はこれだけではありません。つまり下から挙げてゆくと、

ランク０　φ
ランク１　１(∋{φ})
ランク２　２(∋{φ,１})、{１}

　ここで{１}、つまり員１だけを部下とする員が登場しました。この員をＳ{１}と名づけるとすると、ランク３の員は{φ,１,２,Ｓ{１}}の４名の中の何名かで作るクラスの上司で、ランク２以下ではない員です。
　むしろランク３以下の員の数は２^4という方がわかりやすいでしょう。

　一般にはランクｎ以下の員の数をＳ(ｎ)とすれば、
　　　Ｓ(ｎ)＝２^(Ｓ(ｎ-1))
です。結局Ｓ(ｎ)は次のように累乗を重ねた数になります。この表現はタワーと呼ばれます。


　ちなみに、Tower(1)=2、としてTower(n)の値を列挙すると、
Tower(2) = 4
Tower(3) = 16
Tower(4) = 2¹⁶ = 64*1024
Tower(5) = 2⁶⁵⁵³⁶≒64*10^(6553*3)

　逆に言うとタワーという表現は、これほどの巨大な数を実にコンパクトに表現できるのです。

続く