各行の空欄に、×を3つ埋めていったら見つかる。
（１）の証明は、
N≦n(n-1)/6 = nC3/(n-2)というか・・・nC2/3だ！！
を示すことだが、まだ方針立たない。。。。
おそらく、ｎ個から２つ選ぶ組合せのうち、例えば、1≦ｐ≦ｎ
となるｐを含むようにすると、ｐ以外の２つをあわせた3つの要素は、
上の組合せ自身にｐを含む2つとあわせ、3重に重複する。
よって、どんなに多くても、nC3/3が最大となることを、
しっかりと論ずることになりそう。
【草稿】あとから、全面的に考え方を変えて、一般のｎでも証明できるように変えたので注意あれ・・・後半の説明参照！！
結構見つけにくいが（２）は９、１０？で 答えだけ となる。
（１）の証明にいたるには、この2個を見つけるための一般的な操作を見つければいいのだろうか？
ちょっと考えると、2つを選んでできる部分集合が、3要素集合の部分集合であるが、これら2つが2つの3要素集合に含まれるとすると、
共通要素が2個以上あることになり、題意を満たせない。
よって、多くても、2要素集合の数を超えることがないことがわかる。
そこで、
n(n-1)/6 = nC2/3 なのであるが、
右辺のニューマレーター：分子は、ｎ個から相異なる2個を選ぶ組合せ。
ある2つの組について、それら以外のn-2個から選んだｐとあわせて3個にすると、
この組は、ｐを含むあと二通りの2つの組にも現れる。よって、どの2組も3要素に含まれているとすると、それらは3重に重複している。
よって、どんなに多くても、
共通要素の個数が1以下となるものの個数Nは、
N＞ｎC3/3とはなりえない。
実際、n=9のとき、9・8/6 = 12 はN=n(n-1)/6を満たし、最大のNの場合として、
{1,2,3}{4,5,6}{7,8,9}
{1,4,7}{1,5,8},{1,6,9}
{2,4,8}{2,5,9},{2,6,7}
{3,4,9}{3,5,7}{3,6,8}の12通りが題意を満たす３要素の部分集合である。
よって、N≦n(n-1)/6 ■
上の証明はやや怪しい。
ので、再度2時間考えた結果、むしろN≦nC3/(n-2)を示す方が、はっきりしているし、一般のnについての存在を考えるときにも使えるとわかった。
さて、余裕のある人に、N=n(n-1)/6となるnが無数にあることを示すように
チャレンジ課題もありました。。。。
これはどうすると良いか？背理法か、追い出し法？か、
鳩ノ巣原理か？？？
ところで、GW真っ只中、横浜は150周年まつりで盛り上がっている様子！？
TVでしか知らない。これから、駅前の歯医者で治療だ
歯医者から帰って、一般に無数のｎの存在を証明してみた。
東大入試では、今の僕には部分点しかとれないだろう。。。。
【一般性の証明】
題意の３要素集合の最大数Nは、
円周上のｎ個の頂点を結んでつくった三角形が、
いずれの辺も共有することがないような、
最大の三角形の個数Nとして求められる。
円周上のｎ個の点で作れる異なる三角形はnC3個、
ある辺をとると、nC2通りの対角線の内の一つになっている。
（１）で示したnC3/(n-2)個の三角形の数は、n-2の重複を取り除いたときの、
nC3/(n-2)個の辺の数に対応していることに注意する。
すると、円周上にはこの辺以外に、
nC2 - nC3/(n-2) = n(n-1)/3 の対角線が残っているが、
nC3/(n-2)個のそれぞれの辺にその2倍の異なる対角線があれば、
題意の条件に対応する三角形が出来る。
ところで、2・nC3/(n-2) = n(n-2)/3
であるから、上の残りの対角線はちょうどこれを充足する。
このとき、これに対応する3要素集合が最大数となっている。
次に、Nが整数となれば、N≧12（n=9のとき）において、
題意の条件に対応するので、それを確認する。
9,10,12,13,15,16,・・・のとき、nC3/(n-2)=n(n-1)/6は整数である。
mを自然数≧3 として、
n= 3m,3m+1のときに、n(n-1)/6が整数であることを示せば、
（２）の題意を満たすようなｎが無数にあることがいえる。（？）
ところで、
3m(3m-1)/6=m(3m-1)/2 ①
3m(3m+1)/6=m(3m+1)/2 ②
において、
m偶数のとき、3m±1は奇数、
m奇数のとき、3m±1は偶数であるから、①②とも、整数である■
対角線n(n-1)/3が整数となるnとしたらもっとこれ自体は容易に決まる。。。
二時間がんばってみました。本番ではむりでしょう・・・
因みに、試行錯誤中に 等差数列を発見！！
円内の三角形の数/対角線の本数は、nについて、公差1/3の等差数列になっています。そして、この比が2以上かつ、非整数のときに、N最大となります。
しかし、果たして、３で割ったあまりが０と１のｎで
辺を共有しない三角形が最大数できることは確かか？？？
対角線がピッタシと、n(n-1)/6本の辺の両端に別々につながらないといけないが、
ここのところが、実は不明確である。
（１）の証明は、
N≦n(n-1)/6 = nC3/(n-2)というか・・・nC2/3だ！！
を示すことだが、まだ方針立たない。。。。
おそらく、ｎ個から２つ選ぶ組合せのうち、例えば、1≦ｐ≦ｎ
となるｐを含むようにすると、ｐ以外の２つをあわせた3つの要素は、
上の組合せ自身にｐを含む2つとあわせ、3重に重複する。
よって、どんなに多くても、nC3/3が最大となることを、
しっかりと論ずることになりそう。
【草稿】あとから、全面的に考え方を変えて、一般のｎでも証明できるように変えたので注意あれ・・・後半の説明参照！！
結構見つけにくいが（２）は９、１０？で 答えだけ となる。
（１）の証明にいたるには、この2個を見つけるための一般的な操作を見つければいいのだろうか？
ちょっと考えると、2つを選んでできる部分集合が、3要素集合の部分集合であるが、これら2つが2つの3要素集合に含まれるとすると、
共通要素が2個以上あることになり、題意を満たせない。
よって、多くても、2要素集合の数を超えることがないことがわかる。
そこで、
n(n-1)/6 = nC2/3 なのであるが、
右辺のニューマレーター：分子は、ｎ個から相異なる2個を選ぶ組合せ。
ある2つの組について、それら以外のn-2個から選んだｐとあわせて3個にすると、
この組は、ｐを含むあと二通りの2つの組にも現れる。よって、どの2組も3要素に含まれているとすると、それらは3重に重複している。
よって、どんなに多くても、
共通要素の個数が1以下となるものの個数Nは、
N＞ｎC3/3とはなりえない。
実際、n=9のとき、9・8/6 = 12 はN=n(n-1)/6を満たし、最大のNの場合として、
{1,2,3}{4,5,6}{7,8,9}
{1,4,7}{1,5,8},{1,6,9}
{2,4,8}{2,5,9},{2,6,7}
{3,4,9}{3,5,7}{3,6,8}の12通りが題意を満たす３要素の部分集合である。
よって、N≦n(n-1)/6 ■
上の証明はやや怪しい。
ので、再度2時間考えた結果、むしろN≦nC3/(n-2)を示す方が、はっきりしているし、一般のnについての存在を考えるときにも使えるとわかった。
さて、余裕のある人に、N=n(n-1)/6となるnが無数にあることを示すように
チャレンジ課題もありました。。。。
これはどうすると良いか？背理法か、追い出し法？か、
鳩ノ巣原理か？？？
ところで、GW真っ只中、横浜は150周年まつりで盛り上がっている様子！？
TVでしか知らない。これから、駅前の歯医者で治療だ
歯医者から帰って、一般に無数のｎの存在を証明してみた。
東大入試では、今の僕には部分点しかとれないだろう。。。。
【一般性の証明】
題意の３要素集合の最大数Nは、
円周上のｎ個の頂点を結んでつくった三角形が、
いずれの辺も共有することがないような、
最大の三角形の個数Nとして求められる。
円周上のｎ個の点で作れる異なる三角形はnC3個、
ある辺をとると、nC2通りの対角線の内の一つになっている。
（１）で示したnC3/(n-2)個の三角形の数は、n-2の重複を取り除いたときの、
nC3/(n-2)個の辺の数に対応していることに注意する。
すると、円周上にはこの辺以外に、
nC2 - nC3/(n-2) = n(n-1)/3 の対角線が残っているが、
nC3/(n-2)個のそれぞれの辺にその2倍の異なる対角線があれば、
題意の条件に対応する三角形が出来る。
ところで、2・nC3/(n-2) = n(n-2)/3
であるから、上の残りの対角線はちょうどこれを充足する。
このとき、これに対応する3要素集合が最大数となっている。
次に、Nが整数となれば、N≧12（n=9のとき）において、
題意の条件に対応するので、それを確認する。
9,10,12,13,15,16,・・・のとき、nC3/(n-2)=n(n-1)/6は整数である。
mを自然数≧3 として、
n= 3m,3m+1のときに、n(n-1)/6が整数であることを示せば、
（２）の題意を満たすようなｎが無数にあることがいえる。（？）
ところで、
3m(3m-1)/6=m(3m-1)/2 ①
3m(3m+1)/6=m(3m+1)/2 ②
において、
m偶数のとき、3m±1は奇数、
m奇数のとき、3m±1は偶数であるから、①②とも、整数である■
対角線n(n-1)/3が整数となるnとしたらもっとこれ自体は容易に決まる。。。
二時間がんばってみました。本番ではむりでしょう・・・ 因みに、試行錯誤中に 等差数列を発見！！
円内の三角形の数/対角線の本数は、nについて、公差1/3の等差数列になっています。そして、この比が2以上かつ、非整数のときに、N最大となります。
しかし、果たして、３で割ったあまりが０と１のｎで
辺を共有しない三角形が最大数できることは確かか？？？
対角線がピッタシと、n(n-1)/6本の辺の両端に別々につながらないといけないが、
ここのところが、実は不明確である。
