質問タイトル
｢極座標で面積を計算する。｣
任意の閉じた曲線内の面積を極座標表示の関数で表し積分して求めることはできますか？
はい、極座標表示の関数で表された閉曲線の内部にある領域の面積を積分によって求めることができます。
具体的には、極座標表示の関数で表された曲線を$r=f(\theta)$とします。この曲線で囲まれた領域の面積を求めるためには、次の重積分を計算します。
$$\iint_D r , dr , d\theta$$
ここで、$D$は曲線が囲む領域を表します。この領域は、$r$が$f(\theta)$から$r=0$まで、$\theta$が$\alpha$から$\beta$まで変化する範囲のなす領域となります。つまり、
$$D = {(r,\theta) \mid 0 \leq r \leq f(\theta), \alpha \leq \theta \leq \beta}$$
この領域上で$r$を$r=f(\theta)$で置き換え、$dr=d(f(\theta))$とすることで、面積を求める重積分は次のようになります。
$$\iint_D r , dr , d\theta = \int_\alpha^\beta \int_0^{f(\theta)} r , dr , d\theta = \int_\alpha^\beta \frac{1}{2} f(\theta)^2 , d\theta$$
したがって、極座標表示の関数で表された閉曲線で囲まれた領域の面積は、上記の式で計算することができます。
