４元座標での静止物体のエネルギー式 ｅ＝ｍｃ２ 導出要領を以下に示す。
導出にあたり使用する表記記号は、以下である。
ｍ ： 質量
ｃ ： 光速
ｕｒ ： ４元速度の時間成分
ｐｗ ： ４元運動量
ｐｒ ： ４元運動量の時間成分
ｐｘ ： ４元運動量の空間成分、ニュートン力学での運動量
ｅｗ ： ４元エネルギー
ｅｒ ： ４元エネルギーの時間成分、いわゆる静止物体のもつエネルギー
ｅｘ ： ニュートン力学での運動エネルギー
最初に、次の式を前提する。
ｅ＝ｐｃ ・・・前提式１：エネルギー＝運動量 × 光速
上記式は、量子仮説（ｅ＝ｈν）と光子運動量（ｐ＝ｈν／ｃ）の二つの式から導出されたものである。
したがって前出の表記記号のうちエネルギーを表すものは、それぞれ以下のような運動量と光速からの算出値に置き換え可能である。
ｅｗ＝ｐｗｃ
ｅｒ＝ｐｒｃ ・・・式ａ
ｅｘ＝ｐｘｃ
二番目に、次の代置を前提する。
ｕｒ＝ｃ ・・・前提式２
上記の代置は、いかなる速度で移動する慣性系であっても、時間速度は光速に等しいことを示す。
それは、例えある慣性系の時間速度が、他の慣性系にすると遅延または急進する時間速度であっても、慣性系自身にすると時間速度は常に同一だと言うことである。したがって運動量の式ｐ＝ｍｖに従うなら、前出の４元運動量の時間成分を表す表記記号ｐｒ は、以下のような質量と光速からの算出値に置き換え可能である。
ｐｒ＝ｍｃ
当然ながら前出の４元エネルギーの時間成分の式ａも、以下のような質量と光速からの算出値に置き換え可能である。
ｅｒ＝ｍｃ２ ・・・式ｂ
この段階ですでに、ｅ＝ｍｃ２の導出は完了する。
ただしこの式は、エネルギーの時間成分だけを表す。さらに空間成分を含めたエネルギー式を導出する場合、次の式を前提する。
ｐｗ２＝ｐｒ２＋ｐｘ２ ・・・前提式３：４元運動量２＝運動量時間成分２＋運動量空間成分２
上記式を以下要領で変形すると、ｅ＝ｍｃ２の一般式が得られる。
ｐｗ２ｃ２＝ｐｒ２ｃ２＋ｐｘ２ｃ２ ・・・両辺に定数Ｃ２をかける
(ｐｗｃ)２＝(ｍｃ)２ｃ２＋ｐｘ２ｃ２ ・・・ｐｒをｍｃに代置
ｅｗ２＝ｍ２ｃ４＋ｐｘ２ｃ２ ・・・ｐｗｃをｅｗに代置
上記の最終式が、ｅ＝ｍｃ２の一般式 ｅ２＝ｍ２ｃ４＋ｐ２ｃ２ である。
慣性系の移動速度がゼロなら、右辺第二項の４元運動量の空間成分の部分、つまりｐｘ２ｃ２もゼロになり、以下の式に落ち着く。
ｅｗ２＝ｍ２ｃ４
ｅｗ＝ｍｃ２ ・・・式ｃ
いわゆるｅ＝ｍｃ２は上記の式ｃである。しかし実際には前出の式ｂで示した４元エネルギーの時間成分の時点で、その導出は終わっている。
この値は静止物体のもつエネルギーを表すとみなされている。しかし４元座標では、静止物体といえども時間方向に移動する。そして式の成り立ちを見てもわかるように、ｍｃ２は４元エネルギーの時間成分にすぎない。つまりｍｃ２とは、静止物体の時間方向移動における運動エネルギーにすぎない。
当然、前出の一般式ｅｗ２＝ｍ２ｃ４＋ｐｘ２ｃ２ も次のように表せる。
ｅｗ２＝(ｍｃ)２＋ｅｘ２ ・・・ｐｘｃをｅｘに代置
ｅｗ２＝ｅｒ２＋ｅｘ２ ・・・ｍｃ２ をｅｒ に代置
上記の最終式は、４元エネルギーとその時間成分と空間成分の関係式である。もともと前提式１は、運動量に光速をかければエネルギーになるのを示している。したがって前提式３、つまり４元運動量とその時間成分と空間成分の関係式の両辺に光速をかければ、その式がエネルギーの関係式になるのは当然である。
(2011/03/20)