ローレンツ変換式は、静止慣性系Ｓの時空座標（ｘ，ｔ）で、速度ｖで移動する移動慣性系Ｓ’の時空座標（ｘ’，ｔ’）を表現する式である。導出要領を以下に示す。
最初に、以下の式を前提する。
ｘ２／ｔ２ ＝ ｘ’２／ｔ’２ ＝ ｃ２ ・・・前提式１：異なる慣性系での光速の同一式
上記式は、ｘ成分だけで見た空間成分と時間成分の関係式になっている。三次元空間の場合の上記式は、もっぱら以下で表現される。
ｘ２ ＋ｙ２ ＋ｚ２ ＝ｃ２ｔ２
ｘ’２ ＋ｙ’２ ＋ｚ’２ ＝ｃ２ｔ’２
もし上記の一般式の形で表示するなら、前提式１は次の式になる。
ｘ２ ＝ｃ２ｔ２ ・・・前提式２
ｘ’２＝ｃ２ｔ’２ ・・・前提式３
ここで移動慣性系Ｓ’の移動速度ｖをｘ軸正方向と考え、ｔおよびｘに正値をとるなら、前提式１は次のようになる。
ｘ／ｔ ＝ ｘ’／ｔ’ ＝ ｃ ・・・前提式４
また上記式の分子分母を逆にすると、次のようになる。
ｔ／ｘ ＝ ｔ’／ｘ’ ＝ １／ｃ ・・・前提式５
さらに前提式２と前提式３の二式の減算で、次の式も得られる。
ｘ２－ｘ’２ ＝ ｃ２ｔ２ － ｃ２ｔ’２ ・・・前提式６
移動慣性系Ｓ’の時間進行の差異を無視した場合、慣性系Ｓ’の空間座標は、静止慣性系Ｓの空間座標が移動したものにすぎない。つまりｘ’は、下記のようにｘのｔ秒後の値となる。ただしここではまだ、ｔ’とｔの関係を不問にする。ｘの値は、移動慣性系Ｓ’の移動速度ｖに対応して、次のように表される。
ｘ’＝ｘ－ｖｔ
ここでストレートに移動慣性系Ｓ’の空間座標が、静止慣性系Ｓの一定の伸縮空間座標となるのを想定すると、上記式は伸縮率γを用いて次のように表される。
ｘ’＝γ（ｘ－ｖｔ） ・・・式ａ：空間座標変換式１
以下要領で前提式４に式ａを代入して、時間座標変換式１を導出する。
ｘ／ｔ＝ｘ’／ｔ’
ｘ／ｔ＝γ（ｘ－ｖｔ）／ｔ’ ・・・ｘ’に式ａを代入
ｔ’＝γ（ｘ－ｖｔ）ｔ／ｘ
ｔ’＝γ（ｔ－ｖｔ２／ｘ）
ｔ’＝γ（ｔ－ｖｘ・ｔ２／ｘ２） ・・・右辺第二項の分子分母にｘを乗算
ｔ’＝γ（ｔ－ｖｘ／ｃ２） ・・・前提式５を代入。 式ｂ：時間座標変換式１
ここで前提式６に式ａと式ｂを代入し、伸縮率γをｃとｘとｔで表現すると、以下のようになる。
ｘ２－ｘ’２＝ｃ２ｔ２－ｃ２ｔ’２
ｘ２－（γ（ｘ－ｖｔ））２＝ｃ２ｔ２－ｃ２（γ（ｔ－ｖｘ／ｃ２））２
ｘ２－γ２（ｘ－ｖｔ）２＝ｃ２ｔ２－ｃ２γ２（ｔ－ｖｘ／ｃ２）２
ｃ２γ２（ｔ－ｖｘ／ｃ２）２－γ２（ｘ－ｖｔ）２＝ｃ２ｔ２－ｘ２
γ２（ｃ２（ｔ－ｖｘ／ｃ２）２－（ｘ－ｖｔ）２）＝ｃ２ｔ２－ｘ２
γ２（ｃ２（ｔ２－２ｔｖｘ／ｃ２＋ｖ２ｘ２／ｃ４）－（ｘ２－２ｔｖｘ＋ｖ２ｔ２））＝ｃ２ｔ２－ｘ２
γ２（（ｃ２ｔ２－２ｔｖｘ＋ｖ２ｘ２／ｃ２）－（ｘ２－２ｔｖｘ＋ｖ２ｔ２））＝ｃ２ｔ２－ｘ２
γ２（ｃ２ｔ２－２ｔｖｘ＋ｖ２ｘ２／ｃ２－ｘ２＋２ｔｖｘ－ｖ２ｔ２）＝ｃ２ｔ２－ｘ２
γ２（ｃ２ｔ２＋ｖ２ｘ２／ｃ２－ｘ２－ｖ２ｔ２）＝ｃ２ｔ２－ｘ２
γ２（ｃ２ｔ２－ｖ２ｔ２－ｘ２＋ｘ２ｖ２／ｃ２）＝ｃ２ｔ２－ｘ２
γ２（ｔ２（ｃ２－ｖ２）－ｘ２（１－ｖ２／ｃ２））＝ｃ２ｔ２－ｘ２
γ２（ｔ２（ｃ２－ｖ２）－ｘ２／ｃ２（ｃ２－ｖ２））＝ｃ２ｔ２－ｘ２
γ２（ｃ２－ｖ２）（ｔ２－ｘ２／ｃ２）＝ｃ２ｔ２－ｘ２
γ２（ｃ２－ｖ２）（ｃ２ｔ２－ｘ２）／ｃ２＝ｃ２ｔ２－ｘ２
γ２（ｃ２－ｖ２）／ｃ２＝１
γ２＝１／（（ｃ２－ｖ２）／ｃ２））
γ＝±１／√（（ｃ２－ｖ２）／ｃ２）
γ＝±１／√（１－ｖ２／ｃ２）
伸縮率γは正値なので、γ＝１／√（１－ｖ２／ｃ２）という値を得られる。
したがって、暫定の式ａの空間座標変換式１、および式ｂの時間座標変換式１は、以下となる。
ｘ’＝１／√（１－ｖ２／ｃ２）・（ｘ－ｖｔ） ・・・空間座標変換式
ｔ’＝１／√（１－ｖ２／ｃ２）・（ｔ－ｖｘ／ｃ２） ・・・時間座標変換式
(2011/11/23)