ローレンツ変換式

　ローレンツ変換式は、静止慣性系Ｓの時空座標（ｘ，ｔ）で、速度ｖで移動する移動慣性系Ｓ’の時空座標（ｘ’，ｔ’）を表現する式である。導出要領を以下に示す。

最初に、以下の式を前提する。

　　ｘ^２／ｔ^２ ＝ ｘ’^２／ｔ’^２ ＝ ｃ^２　　　　　　・・・前提式１：異なる慣性系での光速の同一式

上記式は、ｘ成分だけで見た空間成分と時間成分の関係式になっている。三次元空間の場合の上記式は、もっぱら以下で表現される。

　　ｘ^２　＋ｙ^２　＋ｚ^２　＝ｃ^２ｔ^２
　　ｘ’^２ ＋ｙ’^２ ＋ｚ’^２ ＝ｃ^２ｔ’^２

もし上記の一般式の形で表示するなら、前提式１は次の式になる。

　　ｘ^２ ＝ｃ^２ｔ^２　　　　　　　　　　　　　　　　・・・前提式２
　　ｘ’^２＝ｃ^２ｔ’^２　　　　　　　　　　　　　　　・・・前提式３

ここで移動慣性系Ｓ’の移動速度ｖをｘ軸正方向と考え、ｔおよびｘに正値をとるなら、前提式１は次のようになる。

　　ｘ／ｔ ＝ ｘ’／ｔ’ ＝ ｃ　　　　　　　　　　・・・前提式４

また上記式の分子分母を逆にすると、次のようになる。

　　ｔ／ｘ ＝ ｔ’／ｘ’ ＝ １／ｃ　　　　　　　　・・・前提式５

さらに前提式２と前提式３の二式の減算で、次の式も得られる。

　　ｘ^２－ｘ’^２　＝ ｃ^２ｔ^２ － ｃ^２ｔ’^２　　　　　　・・・前提式６

　移動慣性系Ｓ’の時間進行の差異を無視した場合、慣性系Ｓ’の空間座標は、静止慣性系Ｓの空間座標が移動したものにすぎない。つまりｘ’は、下記のようにｘのｔ秒後の値となる。ただしここではまだ、ｔ’とｔの関係を不問にする。ｘの値は、移動慣性系Ｓ’の移動速度ｖに対応して、次のように表される。

　　　ｘ’＝ｘ－ｖｔ

ここでストレートに移動慣性系Ｓ’の空間座標が、静止慣性系Ｓの一定の伸縮空間座標となるのを想定すると、上記式は伸縮率γを用いて次のように表される。

　　　ｘ’＝γ（ｘ－ｖｔ）　　　　　　　　　　・・・式ａ：空間座標変換式１

以下要領で前提式４に式ａを代入して、時間座標変換式１を導出する。

　　ｘ／ｔ＝ｘ’／ｔ’
　　ｘ／ｔ＝γ（ｘ－ｖｔ）／ｔ’　　　　　　　・・・ｘ’に式ａを代入
　　　 ｔ’＝γ（ｘ－ｖｔ）ｔ／ｘ
　　　 ｔ’＝γ（ｔ－ｖｔ^２／ｘ）
　　　 ｔ’＝γ（ｔ－ｖｘ・ｔ^２／ｘ^２）　　　　・・・右辺第二項の分子分母にｘを乗算
　　　 ｔ’＝γ（ｔ－ｖｘ／ｃ^２）　　　　　　・・・前提式５を代入。　式ｂ：時間座標変換式１

　ここで前提式６に式ａと式ｂを代入し、伸縮率γをｃとｘとｔで表現すると、以下のようになる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ^２－ｘ’^２＝ｃ^２ｔ^２－ｃ^２ｔ’^２
　　　　　　　　　　　　　　　ｘ^２－（γ（ｘ－ｖｔ））^２＝ｃ^２ｔ^２－ｃ^２（γ（ｔ－ｖｘ／ｃ^２））^２
　　　　　　　　　　　　　 　　ｘ^２－γ^２（ｘ－ｖｔ）^２＝ｃ^２ｔ^２－ｃ^２γ^２（ｔ－ｖｘ／ｃ^２）^２
　　　　ｃ^２γ^２（ｔ－ｖｘ／ｃ^２）^２－γ^２（ｘ－ｖｔ）^２＝ｃ^２ｔ^２－ｘ^２
　　 　　γ^２（ｃ^２（ｔ－ｖｘ／ｃ^２）^２－（ｘ－ｖｔ）^２）＝ｃ^２ｔ^２－ｘ^２
　　 　γ^２（ｃ^２（ｔ^２－２ｔｖｘ／ｃ^２＋ｖ^２ｘ^２／ｃ^４）－（ｘ^２－２ｔｖｘ＋ｖ^２ｔ^２））＝ｃ^２ｔ^２－ｘ^２
　　 　　　 　γ^２（（ｃ^２ｔ^２－２ｔｖｘ＋ｖ^２ｘ^２／ｃ^２）－（ｘ^２－２ｔｖｘ＋ｖ^２ｔ^２））＝ｃ^２ｔ^２－ｘ^２
　　 　　　　　　　 γ^２（ｃ^２ｔ^２－２ｔｖｘ＋ｖ^２ｘ^２／ｃ^２－ｘ^２＋２ｔｖｘ－ｖ^２ｔ^２）＝ｃ^２ｔ^２－ｘ^２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　γ^２（ｃ^２ｔ^２＋ｖ^２ｘ^２／ｃ^２－ｘ^２－ｖ^２ｔ^２）＝ｃ^２ｔ^２－ｘ^２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　γ^２（ｃ^２ｔ^２－ｖ^２ｔ^２－ｘ^２＋ｘ^２ｖ^２／ｃ^２）＝ｃ^２ｔ^２－ｘ^２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　γ^２（ｔ^２（ｃ^２－ｖ^２）－ｘ^２（１－ｖ^２／ｃ^２））＝ｃ^２ｔ^２－ｘ^２
　　　　　　　　　　　　　　　　 　γ^２（ｔ^２（ｃ^２－ｖ^２）－ｘ^２／ｃ^２（ｃ^２－ｖ^２））＝ｃ^２ｔ^２－ｘ^２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　γ^２（ｃ^２－ｖ^２）（ｔ^２－ｘ^２／ｃ^２）＝ｃ^２ｔ^２－ｘ^２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　γ^２（ｃ^２－ｖ^２）（ｃ^２ｔ^２－ｘ^２）／ｃ^２＝ｃ^２ｔ^２－ｘ^２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　γ^２（ｃ^２－ｖ^２）／ｃ^２＝１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　γ^２＝１／（（ｃ^２－ｖ^２）／ｃ^２））
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　γ＝±１／√（（ｃ^２－ｖ^２）／ｃ^２）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　γ＝±１／√（１－ｖ^２／ｃ^２）

伸縮率γは正値なので、γ＝１／√（１－ｖ^２／ｃ^２）という値を得られる。

したがって、暫定の式ａの空間座標変換式１、および式ｂの時間座標変換式１は、以下となる。

　　　ｘ’＝１／√（１－ｖ^２／ｃ^２）・（ｘ－ｖｔ）　　　　　　　・・・空間座標変換式
　　　ｔ’＝１／√（１－ｖ^２／ｃ^２）・（ｔ－ｖｘ／ｃ^２）　　　　・・・時間座標変換式

(2011/11/23)

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