08/31: なぜマイナスの数とマイナスの数をかけるとプラスの数になる？

高校生の頃、理系のくせに苦手な教科ワースト3が英語、数学、化学だったくりこみさんです。
わけが分かりません。

さて、中学で数学を習う際に一番最初に引っかかるのが、
マイナスの数×マイナスの数=プラスの数
となる事です。
これを説明するのに苦労する方は多いと思います。
もう世の中そういうものだと納得する中学生は、世渡り上手になるのかもしれません。
しかし、納得できない中学生が多数派ではないでしょうか。

というわけで、2通りの方法で「なぜマイナスの数どうしをかけるとプラスの数になるのか」を説明したいと思います。
ただし、たとえ話で分かりやすく説明する事はしません。
理詰めの説明になります。

その1。
(1-1)²
をネタに、分配法則を使います。
(1-1)² = (1+(-1))² = 1×1 + 1×(-1) + (-1)×1 + (-1)×(-1) = 1-1-1+(-1)×(-1) = -1+(-1)×(-1)
ですが、
(1-1)² = 0² = 0
ですから
-1+(-1)×(-1) = 0
ゆえに
(-1)×(-1) = 1
となります。
あとは適当に両辺にaやらbをかければ一般的に
マイナスの数×マイナスの数=プラスの数
となる事が示されます。

その2。
比例のグラフy = axを考えます。
ここでa > 0なら右肩上がりの直線、a < 0なら左肩上がりの直線になります。
今、a < 0の時を考えます。
グラフが原点から左肩上がりなのでx < 0の時y > 0です。
y = axに戻りましょう。
x < 0、y > 0、a < 0をy = axに代入すると
プラスの数 = マイナスの数×マイナスの数
です。
というわけで、比例のグラフが直線になる事から
マイナスの数×マイナスの数=プラスの数
とならざるを得ないのです。
比例のグラフをx < 0へ自然に拡張すれば、x > 0 の時の直線の延長線になる事を認めてもらう必要はありますが…。

これでもマイナスの数どうしをかけるとプラスになる事を認めない子がいた場合は、
もうマイナスの数「かける」マイナスの数=マイナスの数となる新しい「かけ算」を定義させましょう。
これはすでにかけ算ではないので偽物の「かけ算」になります。
偽物の「かけ算」を導入して後々困る事に直面させて、初めて
”あぁ、だから偽物の「かけ算」じゃなめなんだ”
と理解させましょう。
数学は自由です。
新しい演算を定義する事はできます。
ただし、well-definedな定義でないと問題が起きますよ、という事です。
まぁそれが理解できる子は、はじめにちゃんと説明すれば、マイナスの数どうしをかけるとプラスの数になる事を理解できると思いますけどね。

…と書いてきましたが、上記の説明は大人向けの説明だなぁと思ったくりこみさんでした。
それではまた。