アキレスと亀のパラドックス

　イソップ物語のような話の面白さと、そのキャラクターのユニークさで人気の｢アキレスと亀」。俊足のアキレスがノロノロと進む亀にどうしても追いつけないというお話です。

　アキレスと亀

　昔、ギリシャにアキレスと亀がいて、ある日2人は徒競走をすることになりました。先にゴールに到着した方が勝ちです。しかしアキレスの方が足が速く勝敗は明らかなのでハンディキャップとして亀にいくらか進んだ地点（地点Aとする）からスタートしてもらいました。スタート後、アキレスが地点Aに到達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいます（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進んでいます（地点C）。同様にアキレスが地点Cに達した時には、亀はさらにその先にいます。この繰り返しで、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけなくなりました･･･。

　この話、アキレスのほうが速いので、普通に考えればアキレスが亀に追い付き、追い越せないはずはないのですが、なぜか本当に追いつくことができないかのように思わされてしまいます。この話の中のどこかにトリックが隠されているのでしょうか。

　当たらない矢

　　　　　　　

ある日、アキレスとゼノンの2人が射撃場で賭けをすることになりました。亀の背中の上に置かれたリンゴに矢が当たればアキレスの勝ち、はずれたらゼノンの勝ちです。制限時間は亀が競技場を横切る間だけと決められました。

　勝負が始まり、アキレスは弓を手にして、いつものように的のリンゴに狙いを定め、矢を放った。ところが、矢が到達するまでに的のリンゴが動き、射損じてしまった。アキレスはもう一度やってみた。より強く弓を引き、より速く矢を放った。でも無駄だった。的が右に動いたため、アキレスの矢は当たらず、わずかに左に落ちた。何度繰り返してもどうしても的に当たらない。

　この様子を見ていた猟師が見かねて言った。｢ここから的を狙っても当たらないぞ。的のわずか右を狙うんだ」。

　アキレスが猟師のアドバイスに従って矢を放ったところ、矢はリンゴの中心を貫いた。　　　

｢アキレスと亀」のパラドックスに答えるアンサーストーリーを作ってみました。アイデアはアラン･R･ホワイトにより1963年に提起されたもので、創元社｢おもしろパラドックス」ゲイリー･ヘイデン&マイケル･ピカード（著）で紹介されています。

　馬の鼻先に人参　

最初の設定で亀がアキレスより前の位置に居るようにすれば準備完了です。このあとはアキレスがどんなに速くても亀に追いつけないのです。

　

　トリック

　この話のトリックは最初の文章にあります。

「スタート後、アキレスが地点Aに到達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる。」という部分です。　

　上の文章の「アキレスが地点Aに到達した時点に」という言葉でアキレスの動きを止め、「そこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる」で、亀だけが動くように設定されています。あるいはそのように考えさせるように誘導しています。

　実際にはアキレスが亀のいる地点に到達した、正しくは並んだ瞬間にすでに抜き去っているので上の文章は成立しないのです。

　時計の短針を亀、長針をアキレスに置き換えてみるとよくわかりますが、ゼノンの言っていることは次のようになります。

「時計の長針が３に達した時点で短針は長針がそこに達するまでの時間分先に進んでいる(以下これのくり返し)、だから長針は短針を追い越すことができないのだ」と。

この文章を読んでいるさい、自分で長針の動きを止めて考えていることが確認できると思います。位置を決めるさい、動いていては位置が定まらないので無意識のうちに動かないようにしているのです。

下図で考えるのが正解。両者の動きはそれぞれ個別であるのがわかります。

下図で考えるとまるで亀がアキレスの進路をふさいでいるようなので、かん違いしやすいおそれがあります。個別の動きを互いに連動したものと思い込むからです。