◎イスラーム 28 アラビア科学 数学 ４
★アラビア科学 数学 ４ ３角法
・おもに「非ヨーロッパ起源の数学」（ジョージ・G・ジョーゼフ、講談社）によります
○アラビアの３角法の直接の源はインドであるが、３角法の最古のものはバビロニアに由来すると思われる弦の幾何学で、プトレマイオスの「アルマゲスト」の中で示された３角法が２番目である
●インドの３角法
・アレクサンドリアで、ヒッパルコス、メネラオス、プトレマイオスなどの天文学者によって３角法の基礎が築かれ、インドに伝えられた
インド天文学は当時の最先端の天文学であり、３角法は天文学に必要な１分野だった
○インドの数学者らは３角関数の研究に半弦を用いていた
半弦はジュヤアルダ（jyardha）として知られていたが、後、縮められてジュヤ（jya）またはジーバ（jiva）となり、インドの正弦となった
jivaがアラビアに入ったとき、アラビア語の母音省略のルールによってjibと書かれていたが、チェスターのロバートが、それをjaib（ジャイブ）だと思い込んでしまった
ジャイブは12世紀にラテン語のsinus（シーナス）に訳された
sinusが現在のsin（サイン）となった
○アールヤバタ（476年生まれ）の「アールヤバティーヤ」
古い天文書「シッダーンタ」の結果を修正して体系化したもの
数学を扱った第２章には、１次方程式、２次方程式、１次不定方程式などが含まれている
第２章で、半弦表を用いた計算によって３角法を導入している
アールヤバタは円周率の近似値として3.1416（62832/20000）を用いた
○この3.1416という円周率の近似値について
数学者のファン・デル・ヴェルデンによると、3.1416という円周率の近似値を求めたのは、アルキメデスの時代のベルゲのアポロニオス（200年ころ）である
アールヤバタは、この円周率の近似値をアポロニオスから受け継いだ（「古代文明の数学」、ファン・デル・ヴェルデン、日本評論社）
○ヴァラーハミヒラ（505～587年頃）の「スールヤ・シッダーンタ」
３角法についての解説がある
３角法の３個の関数ジュヤ（半弦、またはインドの正弦）、コジュヤ（余弦）、ウトゥクラマジュヤ（正接）が与えられている
正弦は半径１の円の中心角xに対する弦の長さであった
その半分、半弦の長さが現代での正弦sin xに相当する
○ブラフマグプタ（598年生まれ）の「ブラフマースプタ・シッダーンタ」
正弦表で与えられている角度の中間にあたる角度の正弦を得る方法を述べた
○バースカラ１世（600年頃）の「マハー・バースカリヤ」
数表を使わないで鋭角のインド正弦を計算する近似式を与えている
○マーダヴァ（1340～1425年頃）
マーダヴァは３角関数の無限級数を、ニュートンより約300年前に発見したかもしれない
正弦級数および余弦級数が初めてヨーロッパに現れたのは、1676年に王立協会総裁オルデンバーグにニュートンが出した手紙の中である
マーダヴァの正弦級数および余弦級数は、天文計算用の精度の高い正弦・余弦表を作るために用いられたのであろう
●アラビアの３角法
・３角関数がアラビアに伝えられたのは、８世紀にアッバース朝（749～1258年）の第２代カリフ アル・マンスールの宮廷を訪れたインドの使節団がもたらした天文書によるとされている
１ 正弦、余弦、正接、余接、正割、余割の６個の基本的な３角関数の導入
正接（tan）と余接（cot）の起源はアラビアである
タンジェント（tan）をつけ加えたのは、９世紀のアラビアの天文学者アル・ハースィブである
２ 正弦公式の導出
現代版の正弦公式はナッスィール・アッ・ディーン・アッ・トゥースィーに帰するとされている
３ 補間法による３角関数表の作成
アラビアの天文学者は天文計算のために、インドの正弦表より精密な正弦表の必要性を感じるようになる
アル・ハースィブ（850頃）は１度の間隔で、10進法で５位まで正確な正弦表と正接表を作った
○15世紀になるとアル・カーシーは「弦と正弦についての研究」の中で、反復法を用いて３次方程式を解くことによってsin1°の精密な値を得る問題に取り組んだ
アル・カーシーはsin1°を10進法で16けたまで正しく計算した
★アラビア科学 数学 ４ ３角法
・おもに「非ヨーロッパ起源の数学」（ジョージ・G・ジョーゼフ、講談社）によります
○アラビアの３角法の直接の源はインドであるが、３角法の最古のものはバビロニアに由来すると思われる弦の幾何学で、プトレマイオスの「アルマゲスト」の中で示された３角法が２番目である
●インドの３角法
・アレクサンドリアで、ヒッパルコス、メネラオス、プトレマイオスなどの天文学者によって３角法の基礎が築かれ、インドに伝えられた
インド天文学は当時の最先端の天文学であり、３角法は天文学に必要な１分野だった
○インドの数学者らは３角関数の研究に半弦を用いていた
半弦はジュヤアルダ（jyardha）として知られていたが、後、縮められてジュヤ（jya）またはジーバ（jiva）となり、インドの正弦となった
jivaがアラビアに入ったとき、アラビア語の母音省略のルールによってjibと書かれていたが、チェスターのロバートが、それをjaib（ジャイブ）だと思い込んでしまった
ジャイブは12世紀にラテン語のsinus（シーナス）に訳された
sinusが現在のsin（サイン）となった
○アールヤバタ（476年生まれ）の「アールヤバティーヤ」
古い天文書「シッダーンタ」の結果を修正して体系化したもの
数学を扱った第２章には、１次方程式、２次方程式、１次不定方程式などが含まれている
第２章で、半弦表を用いた計算によって３角法を導入している
アールヤバタは円周率の近似値として3.1416（62832/20000）を用いた
○この3.1416という円周率の近似値について
数学者のファン・デル・ヴェルデンによると、3.1416という円周率の近似値を求めたのは、アルキメデスの時代のベルゲのアポロニオス（200年ころ）である
アールヤバタは、この円周率の近似値をアポロニオスから受け継いだ（「古代文明の数学」、ファン・デル・ヴェルデン、日本評論社）
○ヴァラーハミヒラ（505～587年頃）の「スールヤ・シッダーンタ」
３角法についての解説がある
３角法の３個の関数ジュヤ（半弦、またはインドの正弦）、コジュヤ（余弦）、ウトゥクラマジュヤ（正接）が与えられている
正弦は半径１の円の中心角xに対する弦の長さであった
その半分、半弦の長さが現代での正弦sin xに相当する
○ブラフマグプタ（598年生まれ）の「ブラフマースプタ・シッダーンタ」
正弦表で与えられている角度の中間にあたる角度の正弦を得る方法を述べた
○バースカラ１世（600年頃）の「マハー・バースカリヤ」
数表を使わないで鋭角のインド正弦を計算する近似式を与えている
○マーダヴァ（1340～1425年頃）
マーダヴァは３角関数の無限級数を、ニュートンより約300年前に発見したかもしれない
正弦級数および余弦級数が初めてヨーロッパに現れたのは、1676年に王立協会総裁オルデンバーグにニュートンが出した手紙の中である
マーダヴァの正弦級数および余弦級数は、天文計算用の精度の高い正弦・余弦表を作るために用いられたのであろう
●アラビアの３角法
・３角関数がアラビアに伝えられたのは、８世紀にアッバース朝（749～1258年）の第２代カリフ アル・マンスールの宮廷を訪れたインドの使節団がもたらした天文書によるとされている
１ 正弦、余弦、正接、余接、正割、余割の６個の基本的な３角関数の導入
正接（tan）と余接（cot）の起源はアラビアである
タンジェント（tan）をつけ加えたのは、９世紀のアラビアの天文学者アル・ハースィブである
２ 正弦公式の導出
現代版の正弦公式はナッスィール・アッ・ディーン・アッ・トゥースィーに帰するとされている
３ 補間法による３角関数表の作成
アラビアの天文学者は天文計算のために、インドの正弦表より精密な正弦表の必要性を感じるようになる
アル・ハースィブ（850頃）は１度の間隔で、10進法で５位まで正確な正弦表と正接表を作った
○15世紀になるとアル・カーシーは「弦と正弦についての研究」の中で、反復法を用いて３次方程式を解くことによってsin1°の精密な値を得る問題に取り組んだ
アル・カーシーはsin1°を10進法で16けたまで正しく計算した