今日も中学生向けの数学の話。メネラウスの定理のまとめだ。
先日は日本の高校受験参考書と睨めっこをしながら、下の様に（ＡＣ／ＣＦ）×（ＦＥ／ＥＢ）×（ＢＤ／ＤＡ）＝１ を導いてみた。
ＤＣと平行な線をＦから引き、ＡＢとの交点をＰとする。
ＡＣ：ＣＦ＝ＤＡ：ＤＰ
ＡＣ・ＤＰ＝ＤＡ・ＣＦ
（ＡＣ／ＣＦ）＝（ＤＡ／ＤＰ） ---①
ＦＥ：ＥＢ＝ＤＰ：ＢＤ
ＦＥ・ＢＤ＝ＤＰ・ＥＢ
（ＦＥ／ＥＢ）＝（ＤＰ／ＢＤ） ---②
①×②
（ＡＣ／ＣＦ）×（ＦＥ／ＥＢ）＝（ＤＡ／ＤＰ）×（ＤＰ／ＢＤ）
両辺へ（ＢＤ／ＤＡ）を掛ける。
（ＡＣ／ＣＦ）×（ＦＥ／ＥＢ）×（ＢＤ／ＤＡ）＝（ＤＡ／ＤＰ）×（ＤＰ／ＢＤ）×（ＢＤ／ＤＡ）
（ＡＣ／ＣＦ）×（ＦＥ／ＥＢ）×（ＢＤ／ＤＡ）＝１
辺ＡＣ上のＡＣとＣＦの割合（ＡＣ／ＣＦ）を辺ＡＢ上のＤＡとＤＰの割合（ＤＡ／ＤＰ）へ変換し、辺ＦＢ上のＦＥとＥＢの割合（ＦＥ／ＥＢ）も辺ＡＢ上のＤＰとＢＤの割合（ＤＰ／ＢＤ）に変換。この２つの割合を掛け合せた上へ辺ＡＢ上のＢＤとＤＡの割合ＢＤ／ＤＡも掛けると1になると導いているが、中１の娘は理解できてもスッキリでは無いらしく、タイヤイさんから頂いたアドバイスと問題集の模範解答を参考に「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」のを利用してメネラウスの定理を導いてみたい。
先ずはメネラウスの定理を導く基になる「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」の話から。
⊿ＡＢＧと⊿ＡＣＧは共に高さがｈの三角形。
⊿ＡＢＧの面積Ｓ1＝（ＢＧ×ｈ）÷２
⊿ＡＣＧの面積Ｓ2＝（ＣＧ×ｈ）÷２
Ｓ1：Ｓ2＝（ＢＧ×ｈ）÷２：（ＣＧ×ｈ）÷２
＝ＢＧ：ＣＧ
⊿ＡＢＧの面積Ｓ1と⊿ＡＣＧの面積Ｓ2の面積比は、⊿ＡＢＧの底辺ＢＧと⊿ＡＣＧの底辺ＣＧの長さの比と等しい。
⊿ＥＢＧと⊿ＥＣＧは共に高さがｊの三角形。
⊿ＥＢＧの面積Ｓ3＝（ＢＧ×ｊ）÷２
⊿ＥＣＧの面積Ｓ4＝（ＣＧ×ｊ）÷２
Ｓ3：Ｓ4＝（ＢＧ×ｊ）÷２：（ＣＧ×ｊ）÷２
＝ＢＧ：ＣＧ
⊿ＥＢＧの面積Ｓ3と⊿ＥＣＧの面積Ｓ4の面積比は、⊿ＥＢＧの底辺ＢＧと⊿ＥＣＧの底辺ＣＧの長さの比と等しい。
⊿ＡＢＥの面積Ｓ5＝Ｓ1－Ｓ3
＝（（ＢＧ×ｈ）÷２）－（（ＢＧ×ｊ）÷２）
＝ＢＧ（ｈ－ｊ）÷２
⊿ＡＣＥの面積Ｓ6＝Ｓ2－Ｓ4
＝（（ＣＧ×ｈ）÷２）－（（ＣＧ×ｊ）÷２）
＝ＣＧ（ｈ－ｊ）÷２
⊿ＡＢＥの面積Ｓ5：⊿ＡＣＥの面積Ｓ6＝Ｓ1－Ｓ3：Ｓ2－Ｓ4
＝ＢＧ（ｈ－ｊ）÷２：ＣＧ（ｈ－ｊ）÷２
＝ＢＧ：ＣＧ
⊿ＡＢＥの面積Ｓ5と⊿ＡＣＥの面積Ｓ6の面積比は、ＢＧとＣＧの長さの比と等しい。
ここまでを理解したらメネラウスの定理へ入ろう。
このままでは難しいので、以下の様にＡＥとＢＣへ補助線を入れ、⊿ＥＡＦの面積をＳ１ ⊿ＥＣＦの面積をＳ２ ⊿ＥＢＣの面積をＳ３とする。
⊿ＥＡＦと⊿ＥＣＦは高さが等しい三角形で、面積比Ｓ１：Ｓ２と底辺の長さの比ＡＦ：ＣＦが等しいので、
ＡＣ／ＣＦ＝（Ｓ１＋Ｓ２）／Ｓ２
⊿ＥＣＦと⊿ＥＢＣは高さが等しい三角形で、面積比Ｓ２：Ｓ３と底辺の長さの比ＦＥ：ＥＢが等しいので、
ＦＥ／ＥＢ＝Ｓ２／Ｓ３
⊿ＥＢＣと⊿ＥＡＣの面積比Ｓ３：（Ｓ１＋Ｓ２）と 辺ＢＤと辺ＤＡの長さの比ＢＤ：ＤＡが等しいので、
ＢＤ／ＤＡ＝Ｓ３／（Ｓ１＋Ｓ２）
（ＡＣ／ＣＦ）・（ＦＥ／ＥＢ）・（ＢＤ／ＤＡ）＝（（Ｓ１＋Ｓ２）／Ｓ２）・（Ｓ２／Ｓ３）・（Ｓ３／（Ｓ１＋Ｓ２））
＝（（Ｓ１＋Ｓ２）／Ｓ２）・（Ｓ２／Ｓ３）・（Ｓ３／（Ｓ１＋Ｓ２））
＝１
「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」を利用するとメネラウスの定理を簡単に導ける。
同じ方法でチェバの定理も導く。
チェバの定理についての詳細な解説はウィキペディアを参照。 日本語のページ タイ語のページ
チェバの定理とは上の図で（ＡＤ／ＤＢ）・（ＢＧ／ＧＣ）・（ＣＦ／ＦＡ）＝１の等式が成立する定理。
ＡＤ／ＤＢ＝⊿ＥＣＡ／⊿ＥＣＢ＝Ｓ２／Ｓ３
ＢＧ／ＧＣ＝⊿ＥＡＢ／⊿ＥＣＡ＝Ｓ１／Ｓ２
ＣＦ／ＦＡ＝⊿ＥＣＢ／⊿ＥＡＢ＝Ｓ３／Ｓ１ なので
（ＡＤ／ＤＢ）・（ＢＧ／ＧＣ）・（ＣＦ／ＦＡ）＝（Ｓ２／Ｓ３）・（Ｓ１／Ｓ２）・（Ｓ３／Ｓ１）
＝（Ｓ２／Ｓ３）・（Ｓ１／Ｓ２）・（Ｓ３／Ｓ１）
＝１
このくらいに書くと中１の娘でも理解できるそうだ。単に式だけ覚えるより良いだろう。メネラウスの定理もチェバの定理も中学や高校では教えないらしく、タイの高校受験や大学受験の問題集でも「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」のを利用して解いてあるが、そんなことをやっていたのでは１問３分で解くのは難しい。この２つの定理は受験の時に強力な武器として働いてくれるだろう。
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先日は日本の高校受験参考書と睨めっこをしながら、下の様に（ＡＣ／ＣＦ）×（ＦＥ／ＥＢ）×（ＢＤ／ＤＡ）＝１ を導いてみた。
ＤＣと平行な線をＦから引き、ＡＢとの交点をＰとする。
ＡＣ：ＣＦ＝ＤＡ：ＤＰ
ＡＣ・ＤＰ＝ＤＡ・ＣＦ
（ＡＣ／ＣＦ）＝（ＤＡ／ＤＰ） ---①
ＦＥ：ＥＢ＝ＤＰ：ＢＤ
ＦＥ・ＢＤ＝ＤＰ・ＥＢ
（ＦＥ／ＥＢ）＝（ＤＰ／ＢＤ） ---②
①×②
（ＡＣ／ＣＦ）×（ＦＥ／ＥＢ）＝（ＤＡ／ＤＰ）×（ＤＰ／ＢＤ）
両辺へ（ＢＤ／ＤＡ）を掛ける。
（ＡＣ／ＣＦ）×（ＦＥ／ＥＢ）×（ＢＤ／ＤＡ）＝（ＤＡ／ＤＰ）×（ＤＰ／ＢＤ）×（ＢＤ／ＤＡ）
（ＡＣ／ＣＦ）×（ＦＥ／ＥＢ）×（ＢＤ／ＤＡ）＝１
辺ＡＣ上のＡＣとＣＦの割合（ＡＣ／ＣＦ）を辺ＡＢ上のＤＡとＤＰの割合（ＤＡ／ＤＰ）へ変換し、辺ＦＢ上のＦＥとＥＢの割合（ＦＥ／ＥＢ）も辺ＡＢ上のＤＰとＢＤの割合（ＤＰ／ＢＤ）に変換。この２つの割合を掛け合せた上へ辺ＡＢ上のＢＤとＤＡの割合ＢＤ／ＤＡも掛けると1になると導いているが、中１の娘は理解できてもスッキリでは無いらしく、タイヤイさんから頂いたアドバイスと問題集の模範解答を参考に「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」のを利用してメネラウスの定理を導いてみたい。
先ずはメネラウスの定理を導く基になる「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」の話から。
⊿ＡＢＧと⊿ＡＣＧは共に高さがｈの三角形。
⊿ＡＢＧの面積Ｓ1＝（ＢＧ×ｈ）÷２
⊿ＡＣＧの面積Ｓ2＝（ＣＧ×ｈ）÷２
Ｓ1：Ｓ2＝（ＢＧ×ｈ）÷２：（ＣＧ×ｈ）÷２
＝ＢＧ：ＣＧ
⊿ＡＢＧの面積Ｓ1と⊿ＡＣＧの面積Ｓ2の面積比は、⊿ＡＢＧの底辺ＢＧと⊿ＡＣＧの底辺ＣＧの長さの比と等しい。
⊿ＥＢＧと⊿ＥＣＧは共に高さがｊの三角形。
⊿ＥＢＧの面積Ｓ3＝（ＢＧ×ｊ）÷２
⊿ＥＣＧの面積Ｓ4＝（ＣＧ×ｊ）÷２
Ｓ3：Ｓ4＝（ＢＧ×ｊ）÷２：（ＣＧ×ｊ）÷２
＝ＢＧ：ＣＧ
⊿ＥＢＧの面積Ｓ3と⊿ＥＣＧの面積Ｓ4の面積比は、⊿ＥＢＧの底辺ＢＧと⊿ＥＣＧの底辺ＣＧの長さの比と等しい。
⊿ＡＢＥの面積Ｓ5＝Ｓ1－Ｓ3
＝（（ＢＧ×ｈ）÷２）－（（ＢＧ×ｊ）÷２）
＝ＢＧ（ｈ－ｊ）÷２
⊿ＡＣＥの面積Ｓ6＝Ｓ2－Ｓ4
＝（（ＣＧ×ｈ）÷２）－（（ＣＧ×ｊ）÷２）
＝ＣＧ（ｈ－ｊ）÷２
⊿ＡＢＥの面積Ｓ5：⊿ＡＣＥの面積Ｓ6＝Ｓ1－Ｓ3：Ｓ2－Ｓ4
＝ＢＧ（ｈ－ｊ）÷２：ＣＧ（ｈ－ｊ）÷２
＝ＢＧ：ＣＧ
⊿ＡＢＥの面積Ｓ5と⊿ＡＣＥの面積Ｓ6の面積比は、ＢＧとＣＧの長さの比と等しい。
ここまでを理解したらメネラウスの定理へ入ろう。
このままでは難しいので、以下の様にＡＥとＢＣへ補助線を入れ、⊿ＥＡＦの面積をＳ１ ⊿ＥＣＦの面積をＳ２ ⊿ＥＢＣの面積をＳ３とする。
⊿ＥＡＦと⊿ＥＣＦは高さが等しい三角形で、面積比Ｓ１：Ｓ２と底辺の長さの比ＡＦ：ＣＦが等しいので、
ＡＣ／ＣＦ＝（Ｓ１＋Ｓ２）／Ｓ２
⊿ＥＣＦと⊿ＥＢＣは高さが等しい三角形で、面積比Ｓ２：Ｓ３と底辺の長さの比ＦＥ：ＥＢが等しいので、
ＦＥ／ＥＢ＝Ｓ２／Ｓ３
⊿ＥＢＣと⊿ＥＡＣの面積比Ｓ３：（Ｓ１＋Ｓ２）と 辺ＢＤと辺ＤＡの長さの比ＢＤ：ＤＡが等しいので、
ＢＤ／ＤＡ＝Ｓ３／（Ｓ１＋Ｓ２）
（ＡＣ／ＣＦ）・（ＦＥ／ＥＢ）・（ＢＤ／ＤＡ）＝（（Ｓ１＋Ｓ２）／Ｓ２）・（Ｓ２／Ｓ３）・（Ｓ３／（Ｓ１＋Ｓ２））
＝（（
＝１
「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」を利用するとメネラウスの定理を簡単に導ける。
同じ方法でチェバの定理も導く。
チェバの定理についての詳細な解説はウィキペディアを参照。 日本語のページ タイ語のページ
チェバの定理とは上の図で（ＡＤ／ＤＢ）・（ＢＧ／ＧＣ）・（ＣＦ／ＦＡ）＝１の等式が成立する定理。
ＡＤ／ＤＢ＝⊿ＥＣＡ／⊿ＥＣＢ＝Ｓ２／Ｓ３
ＢＧ／ＧＣ＝⊿ＥＡＢ／⊿ＥＣＡ＝Ｓ１／Ｓ２
ＣＦ／ＦＡ＝⊿ＥＣＢ／⊿ＥＡＢ＝Ｓ３／Ｓ１ なので
（ＡＤ／ＤＢ）・（ＢＧ／ＧＣ）・（ＣＦ／ＦＡ）＝（Ｓ２／Ｓ３）・（Ｓ１／Ｓ２）・（Ｓ３／Ｓ１）
＝（
＝１
このくらいに書くと中１の娘でも理解できるそうだ。単に式だけ覚えるより良いだろう。メネラウスの定理もチェバの定理も中学や高校では教えないらしく、タイの高校受験や大学受験の問題集でも「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」のを利用して解いてあるが、そんなことをやっていたのでは１問３分で解くのは難しい。この２つの定理は受験の時に強力な武器として働いてくれるだろう。
タイの中学生向け数学ギフテッド問題の記事へのリンク→#高１入試ギフ
タイの高校生向け数学入試問題の記事へのリンク→#大学入試
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