06/21: 偶数なら2で割り、奇数なら1を足しなさい

くりこみさんから久々にナゾを出します。

何でも良いので1つ数字を思い浮かべてください (少し大きめの数の方が面白いかも？)。
で、その数が奇数なら、その数に1を足して下さい。
その数が偶数なら、その数を2で割って下さい。
この操作を繰り返すと、必ず1になるらしいのです。

試しに、今日の日付で「21」を選んだとしましょう。
21は奇数なので、1を足します。
そうすると、22になります。
22は偶数なので、2で割ります。
そうすると、11になります。
11は奇数なので、1を足します。
そうすると、12になります。
12は偶数なので、2で割ります。
そうすると、6になります。
6は偶数なので、2で割ります。
そうすると、3になります。
3は奇数なので、1を足します。
そうすると、4になります。
4は偶数なので、2で割ります。
そうすると、2になります。
2は偶数なので、2で割ります。
そうすると、1になります。

こんな感じです。
いかん、結構長くなってしまった...

というわけで、問題。
なんで必ず1になるのでしょうか。
(それとも、1に達する事のない場合はあり得るのでしょうか。)
ちなみに、私はこの証明を知りません。

以前紹介した、
コラッツ・角谷の問題
に似てます。
コラッツ・角谷の問題では、選んだ数が奇数なら、その数に3をかけて1を加えるという操作になり、
今日紹介する問題とそこが違う点です。

こういう問題って証明しにくいものなのでしょう。
加法と除法が混ざってるのが、問題を複雑にする要因なのでしょう、きっと。