第3問
まずは余弦定理の利用からの出題です。
余弦定理を使うと、
CA2=AB2+BC2-2AB・BC・cos∠ABC
=16+4-2・4・2・1/4
=16
∴CA=4
となります。
CA=4と出た所で、△ABCが二等辺三角形であることに気付けるかが鍵になります。
cos∠BACも余弦定理で求める事ができます。
BC2=AB2+CA2-2AB・CA・cos∠BAC
∴4=16+16-2・4・4・cos∠BAC
∴1=4+4-8cos∠BAC
∴cos∠BAC=7/8
sin∠BACは、sin2θ+cos2θ=1の関係式から求められます。
sin∠BAC=√(1-cos2∠BAC)
=√(1-49/64)
=√15/8
となります。
△ABCの外接円の半径は、正弦定理より求めることができて、
その半径をRとすると、
2R=BC/sin∠BAC=2×8/√15
∴R=8√15/15
となります。
(1)
次に、角の二等分線の性質より、
AE:EC=AB:BC=2:1より、
AE=4×2/3=8/3
と求めることができます。
続いて△ABEに対し余弦定理を使い、
BE2=AB2+AE2-2AB・AEcos∠BAC
=42+(8/3)2-2×4×8/3×7/8
=40/9
∴BE=2√10/3。
再び角の二等分線の性質より、
BD:DE=AB:AE=4:8/3=12:8=3:2。
∴BD=BE×3/5=2√10/5。
(2)
∠BEC=∠AEF (対頂角)
および
∠EBC=∠EAF (弦CFに対する円周角)
より、
△EBC∽△EAF
また、相似比が
EB:EA=2√10/3:8/3=√10:4
よって、面積比は2乗となり、△EBC:△EAF=10:16
よって△EBC=△EAF×10/16=5/8△EAFとなります。
(3)
弦AFに対する円周角は等しいので、
∠ABF=∠ACF
弦CFに対する円周角は等しいので、
∠FBC=∠FAC
△ABCは、二等辺三角形なので、
∠ABF=∠FBC
∴∠FAC=∠ACF
よって、△FACは、AF=FCの二等辺三角形とわかる。
つづいて、
∠ADF=∠ABF+∠BAD=∠FAC+∠DAE=∠DAF
なので、△ADFはFA=FDの二等辺三角形とわかる。
よって、
FA=FC=FD。
最後は難関ですね。
第4問
この問題設定、たけしのコマ大数学科で出てたやつじゃん。
まさかセンターで出るとは…びっくりしたなぁ。
(1)
問題文で、3と4が2回ずつ出ればAからBへ行けると丁寧に誘導してくれているので、
スムーズに答えが出たはず。
4!/(2!・2!)=6通り。
(2)
3,4,5の3つが1回ずつ出ればAからCへ3回で行けるから、
3!=6通り。
(3)
(2)の結果を使います。って、私は(2)で間違えたので(3)も正解にたどり着けず。
求める場合の数は、
62=36通り。
求める確率は、36/66=1/1296。
(4)
1が出たら、あとは4が5回出ないとDにはたどり着けないので、
求める場合の数は、
6!/(1!・5!)=6通り。
2が出たら、5が1回、4が4回出ないとDにはたどり着けないので、
求める場合の数は、
6!/(1!・4!)=30通り。
1,2,6が含まれないでAからDへ行くには、
3が2回、4が2回、5が2回出ないとならないので、
求める場合の数は、
6!/(2!・2!・2!)=90通り。
よって、AからDへ6回でたどり着く場合の数は、
6+30+30+90=156通り。
今回のセンターでは、期待値計算がなかったので、
ちょっと意外な感じがしたものの、問題設定をよく読まないと解けないという点では
センターらしい問題でした。
*****
数IA全体を見てみると、計算量的にはさほど多くなく、時間内に解ける分量にはなっていました。
私は、問題を見て焦ってしまい、時間内に全部は解けませんでした。
というか、第3問で使う角の二等分線の性質なんて忘れていて、
図形問題はまるまる半分が解けなかったです。
次回は方べきの定理が出そうな予感がします。
勉強しなきゃ。
次回、数IIBの第1問・第2問のレビューを行います。
まずは余弦定理の利用からの出題です。
余弦定理を使うと、
CA2=AB2+BC2-2AB・BC・cos∠ABC
=16+4-2・4・2・1/4
=16
∴CA=4
となります。
CA=4と出た所で、△ABCが二等辺三角形であることに気付けるかが鍵になります。
cos∠BACも余弦定理で求める事ができます。
BC2=AB2+CA2-2AB・CA・cos∠BAC
∴4=16+16-2・4・4・cos∠BAC
∴1=4+4-8cos∠BAC
∴cos∠BAC=7/8
sin∠BACは、sin2θ+cos2θ=1の関係式から求められます。
sin∠BAC=√(1-cos2∠BAC)
=√(1-49/64)
=√15/8
となります。
△ABCの外接円の半径は、正弦定理より求めることができて、
その半径をRとすると、
2R=BC/sin∠BAC=2×8/√15
∴R=8√15/15
となります。
(1)
次に、角の二等分線の性質より、
AE:EC=AB:BC=2:1より、
AE=4×2/3=8/3
と求めることができます。
続いて△ABEに対し余弦定理を使い、
BE2=AB2+AE2-2AB・AEcos∠BAC
=42+(8/3)2-2×4×8/3×7/8
=40/9
∴BE=2√10/3。
再び角の二等分線の性質より、
BD:DE=AB:AE=4:8/3=12:8=3:2。
∴BD=BE×3/5=2√10/5。
(2)
∠BEC=∠AEF (対頂角)
および
∠EBC=∠EAF (弦CFに対する円周角)
より、
△EBC∽△EAF
また、相似比が
EB:EA=2√10/3:8/3=√10:4
よって、面積比は2乗となり、△EBC:△EAF=10:16
よって△EBC=△EAF×10/16=5/8△EAFとなります。
(3)
弦AFに対する円周角は等しいので、
∠ABF=∠ACF
弦CFに対する円周角は等しいので、
∠FBC=∠FAC
△ABCは、二等辺三角形なので、
∠ABF=∠FBC
∴∠FAC=∠ACF
よって、△FACは、AF=FCの二等辺三角形とわかる。
つづいて、
∠ADF=∠ABF+∠BAD=∠FAC+∠DAE=∠DAF
なので、△ADFはFA=FDの二等辺三角形とわかる。
よって、
FA=FC=FD。
最後は難関ですね。
第4問
この問題設定、たけしのコマ大数学科で出てたやつじゃん。
まさかセンターで出るとは…びっくりしたなぁ。
(1)
問題文で、3と4が2回ずつ出ればAからBへ行けると丁寧に誘導してくれているので、
スムーズに答えが出たはず。
4!/(2!・2!)=6通り。
(2)
3,4,5の3つが1回ずつ出ればAからCへ3回で行けるから、
3!=6通り。
(3)
(2)の結果を使います。って、私は(2)で間違えたので(3)も正解にたどり着けず。
求める場合の数は、
62=36通り。
求める確率は、36/66=1/1296。
(4)
1が出たら、あとは4が5回出ないとDにはたどり着けないので、
求める場合の数は、
6!/(1!・5!)=6通り。
2が出たら、5が1回、4が4回出ないとDにはたどり着けないので、
求める場合の数は、
6!/(1!・4!)=30通り。
1,2,6が含まれないでAからDへ行くには、
3が2回、4が2回、5が2回出ないとならないので、
求める場合の数は、
6!/(2!・2!・2!)=90通り。
よって、AからDへ6回でたどり着く場合の数は、
6+30+30+90=156通り。
今回のセンターでは、期待値計算がなかったので、
ちょっと意外な感じがしたものの、問題設定をよく読まないと解けないという点では
センターらしい問題でした。
*****
数IA全体を見てみると、計算量的にはさほど多くなく、時間内に解ける分量にはなっていました。
私は、問題を見て焦ってしまい、時間内に全部は解けませんでした。
というか、第3問で使う角の二等分線の性質なんて忘れていて、
図形問題はまるまる半分が解けなかったです。
次回は方べきの定理が出そうな予感がします。
勉強しなきゃ。
次回、数IIBの第1問・第2問のレビューを行います。
