お待たせしました。
センター試験2014数IIB第1,2問のレビューです。
さっそく第1問。
[1]
(1)
まずは垂直条件からの出題。
2直線が垂直ならば、2直線のそれぞれの傾きの積が-1になる事を使い、
アイは3/4と出ます。
次に、交点Qのx座標をQxと置くと、
-3/4(Qx-p)+q=4/3Qx
これを解いて
Qx=3/25(3p+4q)
を得ます。
rを求める際に、点と直線の距離の公式を使います。
r=|4p-3q|/√42+(-3)2=1/5|4p-3q|
私はこの公式をど忘れしていて、三平方の定理で必死に計算したあげく、
因数分解できる所で数式を展開してしまい、泥沼にはまって失点しました。
(2)
r=qより、
1/5|4p-3q|=q
∴4p-3q=±5q
∴p=2q, -1/2q
しかし、p>0かつq>かつと問題文に書いてあるので、後者の解は不適。
∴p=2q
まぁ、センターの穴埋めで答えは1桁の数字と分かるので、
後者の解が不適だと判断しても良いでしょう。
点(p,q)を通り半径rの円の方程式は
(x-p)2+(y-q)2=r2
ここに
p=2q
q=r
を代入すると、
(x-2q)2+(y-q)2=q2
この円が点(2,2)を通るという事なので、上式にx=y=2を代入すると、
(2-2q)2+(2-q)2=q2
∴4-8q+4q2+4-4q+q2=q2
∴4q2-12q+8=0
∴(q-1)(q-2)=0
∴q=1,2
よって、
(x-2)2+(y-1)2=1
(x-4)2+(y-2)2=4
を得る。
(3)
点S(2,1)と点T(4,2)が求められれば簡単な問題。
点Oは線分STを1:2に外分する。
[2]
はじめは、簡単なlogの計算からの出題。
log2m3+log3n2|m=2,n=1=3+0=3
log2m3+log3n2|m=4,n=3=6+2=8
簡単なので、配点も低いです。
④式を変形して、
3log2m+2log3n≦3
∴log2m+2/3log3≦1
(log3n)min=log3n|n=1=0
であるから、
log2m≦1
∴m=1, 2
m=1の時、⑤式は
2/3log3n≦1
∴log3n≦3/2
∴2log3n≦3
∴log3n2≦3=log327
∴n2≦27
nは自然数なので、
1≦n≦5
m=2の時、⑤式は
1+2/3log3n≦1
∴log3n≦0
nは自然数なので、
n=1
よって、この時④式を満たすm,nの組の個数は1である。
以上より、④式を満たすm,nの組の個数は5+1=6である。
ここまででおなかいっぱいです。
もう食べきれません。
でもまだあるんです、問題が。
第2問
(1)
導関数を求めて
f'(x)=3x2-p
x=aで極値をとるから、
3a2-p=0
x=aの前後でf'(x)の符号が変わるので、
p>0
これ、結構ひっかかるんですよね。
f'(x)=3x2-p
の判別式を求めると、
D=0-4×3×(-p)=12p
で、D>0でないとf'(x)=0が異なる2つの実数解を持たないんです。
だから、p>0という条件がつくのです。
p=0だと重解になり、f'がx=aの前後でともに正なので、fが極値を持たなくなるんです。
(2)
f'(p/3)=0より
3×(p/3)2-p=0
∴p(p-3)=0
∴p=0,3
しかし、(1)で見たようにp>0なので、
p=3。
このとき、
f(x)=x3-3x
f'(x)=3x2-3
f'(x)=0を解いて
x=±1
3次関数のグラフの概形を思い出せば、
x=-1で極大値をとり、x=1で極小値をとる事がわかる。
f'(b)=3b2-3
より、lの方程式は
y=(3b2-3)(x-b)+f(b)
と書ける。
lが点A(1,-2)を通る事と、f(b)=b3-3bより、
-2=(3b2-3)(1-b)+b3-3b
∴-2=3b2-3-3b3+3b+b3-3b
∴2b3-3b2+1=0
∴(b-1)2(2b+1)=0
∴b=1, -1/2
となる。
b=1だと、
f'(1)=3-3=0
となってしまうので題意から外れる。
よって、b=-1/2
したがって、lの方程式は、
y=(3×1/4-3)(x+1/2)+(-1/2)3-3×(-1/2)
=-9/4x+1/4
点A(1,-2)を頂点とし、原点を通る放物線は、
y=a(x-1)2-2
と書け、原点を通る事より
0=a×(-1)2-2
∴a=2
よって、求める放物線の方程式は、
y=2(x-1)2-2=2x2-4x
となる。
求める面積Sは、
S=∫10{(-9/4x+1/4)-(2x2-4x)}dx
=1/4∫10(-8x2+7x+1)dx
=1/4(-8/3+7/2+1)
=11/24
計算量がかなりありヘビーではありますが、
時間制限さえなければひねくれた問題はないと思います。
いかんせん時間が、ねぇ…。
次回、第3,4問のレビューを行います。
センター試験2014数IIB第1,2問のレビューです。
さっそく第1問。
[1]
(1)
まずは垂直条件からの出題。
2直線が垂直ならば、2直線のそれぞれの傾きの積が-1になる事を使い、
アイは3/4と出ます。
次に、交点Qのx座標をQxと置くと、
-3/4(Qx-p)+q=4/3Qx
これを解いて
Qx=3/25(3p+4q)
を得ます。
rを求める際に、点と直線の距離の公式を使います。
r=|4p-3q|/√42+(-3)2=1/5|4p-3q|
私はこの公式をど忘れしていて、三平方の定理で必死に計算したあげく、
因数分解できる所で数式を展開してしまい、泥沼にはまって失点しました。
(2)
r=qより、
1/5|4p-3q|=q
∴4p-3q=±5q
∴p=2q, -1/2q
しかし、p>0かつq>かつと問題文に書いてあるので、後者の解は不適。
∴p=2q
まぁ、センターの穴埋めで答えは1桁の数字と分かるので、
後者の解が不適だと判断しても良いでしょう。
点(p,q)を通り半径rの円の方程式は
(x-p)2+(y-q)2=r2
ここに
p=2q
q=r
を代入すると、
(x-2q)2+(y-q)2=q2
この円が点(2,2)を通るという事なので、上式にx=y=2を代入すると、
(2-2q)2+(2-q)2=q2
∴4-8q+4q2+4-4q+q2=q2
∴4q2-12q+8=0
∴(q-1)(q-2)=0
∴q=1,2
よって、
(x-2)2+(y-1)2=1
(x-4)2+(y-2)2=4
を得る。
(3)
点S(2,1)と点T(4,2)が求められれば簡単な問題。
点Oは線分STを1:2に外分する。
[2]
はじめは、簡単なlogの計算からの出題。
log2m3+log3n2|m=2,n=1=3+0=3
log2m3+log3n2|m=4,n=3=6+2=8
簡単なので、配点も低いです。
④式を変形して、
3log2m+2log3n≦3
∴log2m+2/3log3≦1
(log3n)min=log3n|n=1=0
であるから、
log2m≦1
∴m=1, 2
m=1の時、⑤式は
2/3log3n≦1
∴log3n≦3/2
∴2log3n≦3
∴log3n2≦3=log327
∴n2≦27
nは自然数なので、
1≦n≦5
m=2の時、⑤式は
1+2/3log3n≦1
∴log3n≦0
nは自然数なので、
n=1
よって、この時④式を満たすm,nの組の個数は1である。
以上より、④式を満たすm,nの組の個数は5+1=6である。
ここまででおなかいっぱいです。
もう食べきれません。
でもまだあるんです、問題が。
第2問
(1)
導関数を求めて
f'(x)=3x2-p
x=aで極値をとるから、
3a2-p=0
x=aの前後でf'(x)の符号が変わるので、
p>0
これ、結構ひっかかるんですよね。
f'(x)=3x2-p
の判別式を求めると、
D=0-4×3×(-p)=12p
で、D>0でないとf'(x)=0が異なる2つの実数解を持たないんです。
だから、p>0という条件がつくのです。
p=0だと重解になり、f'がx=aの前後でともに正なので、fが極値を持たなくなるんです。
(2)
f'(p/3)=0より
3×(p/3)2-p=0
∴p(p-3)=0
∴p=0,3
しかし、(1)で見たようにp>0なので、
p=3。
このとき、
f(x)=x3-3x
f'(x)=3x2-3
f'(x)=0を解いて
x=±1
3次関数のグラフの概形を思い出せば、
x=-1で極大値をとり、x=1で極小値をとる事がわかる。
f'(b)=3b2-3
より、lの方程式は
y=(3b2-3)(x-b)+f(b)
と書ける。
lが点A(1,-2)を通る事と、f(b)=b3-3bより、
-2=(3b2-3)(1-b)+b3-3b
∴-2=3b2-3-3b3+3b+b3-3b
∴2b3-3b2+1=0
∴(b-1)2(2b+1)=0
∴b=1, -1/2
となる。
b=1だと、
f'(1)=3-3=0
となってしまうので題意から外れる。
よって、b=-1/2
したがって、lの方程式は、
y=(3×1/4-3)(x+1/2)+(-1/2)3-3×(-1/2)
=-9/4x+1/4
点A(1,-2)を頂点とし、原点を通る放物線は、
y=a(x-1)2-2
と書け、原点を通る事より
0=a×(-1)2-2
∴a=2
よって、求める放物線の方程式は、
y=2(x-1)2-2=2x2-4x
となる。
求める面積Sは、
S=∫10{(-9/4x+1/4)-(2x2-4x)}dx
=1/4∫10(-8x2+7x+1)dx
=1/4(-8/3+7/2+1)
=11/24
計算量がかなりありヘビーではありますが、
時間制限さえなければひねくれた問題はないと思います。
いかんせん時間が、ねぇ…。
次回、第3,4問のレビューを行います。
