02/17: センター試験数IIBレビュー 第3,4問

センター試験数IIB 2014レビューの続きです。

第3問
(1)
a₂=a₁+9=6+9=15
a₃=a₂+9+4=15+13=28

数列{a_n}の階差数列を{A_n}とおくと、
A_n=9+4(n-1)=4n+5
よって、
a_n=a₁+Σ_k=1^n-1(4k+5)
=6+2n(n-1)+5(n-1)
=2n²+3n+1

(2)
b₂=a₁/(a₂-1)×b₁
=6/(15-1)×2/5
=6/35

①式を②式へ代入して、
b_n+1=a_n/(a_n+1-1)b_n
=(2n²+3n+1)/{2(n+1)²+3(n+1)+1-1}b_n
=(2n²+3n+1)/(2n²+7n+5)b_n
=(n+1)(2n+1)/{(n+1)(2n+5)}b_n
=(2n+1)/(2n+5)b_n
を得る。

ここで
c_n=(2n+1)b_n
とおく。つまり、
b_n=1/(2n+1)c_n
これを③式に代入すると、
1/(2n+3)c_n+1=(2n+1)/(2n+5)×1/(2n+1)c_n
∴(2n+5)c_n+1=(2n+3)c_n

ここで
d_n=(2n+3)c_n
とおくと、
d_n+1=d_n

d₁=(2n+3)c_n|_n=1
=5×(2n+1)b_n|_n=1
=5×3×2/5
=6
よって、
d_n=6

d_nとc_nの関係式より
d_n=(2n+3)c_n=6
∴c_n=6/(2n+3)

④式より、
c_n=(2n+1)b_n=6/(2n+3)
よって、
b_n=6/{(2n+1)(2n+3)}
これを部分分数に分解して、
b_n=3/(2n+1)-3/(2n+3)
したがって、
S_n=(3/3-3/5)+(3/5-3/7)+…+{3/(2n-1)-3/(2n+1)}+{3/(2n+1)-3/(2n+3)}
=1-3/(2n+3)
=2n/(2n+3)
となる。

こんなのまともに解いていたら、時間が足りないってば。
ちなみに私は、
Σk=1/2n(n+1)
の1/2の項を忘れて計算したため、途中から解けなくなりました。
何しとんのじゃ。と、自分で突っ込みを入れておきました。
あぁ情けない。


第4問。
LK=OK-OL (ベクトルの→記号を省略しています)
=(0,0,2)-(1,0,0)
=(-1,0,2)
平行四辺形だから、ベクトルLKとベクトルMNが一致。

LK=MN=ON-OM
=(t,3,3)-(3,3,s)
=(t-3,0,3-s)
=(-1,0,2)
∴t-3=-1, 3-s=2
∴s=1, t=2
NはFGを1:2に内分する。

LK・LM=LK・(OM-OL)=(-1,0,2)・{(1,0,0)-(3,3,1)}
=(-1,0,2)・(-2,-3,-1)
=2-2=0

LK=|(-1,0,2)|=√5

LM=|(-2,-3,-1)|=√14

□KLMN=LK・LM=√70

四角形KLMNは長方形なので、簡単に面積が求まるというわけです。

(2)
OP⊥LK, OP⊥LMより、
OP・LK=OP・LM=0
成分で考えると、
OP・LK=(p,q,r)・(-1,0,2)=-p+2r=0
∴p=2r
OP・LM=(p,q,r)・(-2,-3,-1)=-2p-3q-r=0
上式にp=2rを入れて
-4r-3q-r=0
∴q=-5r/3

続いて、OP⊥PLより、
OP・PL=(p,q,r)・{(1,0,0)-(p,q,r)}
=p(1-p)-q²-r²
=2r(1-2r)-25r²/9-r²
=2r(1-35r/9)=0
∴r=0, 9/35
r=0ではないので
r=9/35。

OP=|(p,q,r)|
=|(2×9/35, -5/3×9/35, 9/35)|
=3/35|(6,-5,3)|
=3/35×√(36+25+9)
=3/35×√70

(三角錐OLMNの体積)
=1/3×底面LMNの面積×OP
=1/3×√70/2×3/35×√70
=1
となる。

*****

時間的制限がなければ結構解けたのになぁというのが感想です。
流れるようにセンターの誘導に乗れるかが鍵になる、というのは数IAの時と同じですが、
一度つまづくと数IIBの場合時間切れになるリスクがあります。
いつもつまづくんだよなぁ、センター数学は。
しかも、いつも途中で時間切れ。
どなたか、センター数学のコツを教えてくださいな。
地道にコツコツと、なんでしょうかね。

さて、次回は物理に挑戦。
今年のセンター物理はどうだったのか。

つづく。