今日から、センター試験数学と物理のレビューをします。
センター試験を実際に解いてみないと今日以降のレビューは理解できませんので、
実際に解いてからお読みになる事をおすすめします。
では、今日は数IAの第1,2問のレビューを行います。
第1問
[1]
(1)
ルートを含んだ分数式の計算です。
センターではよく出るパターンなので、特に問題ないでしょう。
(2)
ケコは(1)の結果を用いれば簡単に出る問題です。
サシスセソを求めるのがやっかいです。
私も一瞬「えっ？」となりました。
a2+b2+4(a+b)=16の両辺を2乗してa4の項を作り出すのかなと思って試行錯誤しました。
後で冷静に考えてみたら、a2+b2+4(a+b)=16にab=2をbについて解いた式b=2/aを代入するのですね。
bを消去するというのがポイントになります。
ここは、うまくセンター特有の誘導に乗れるかが鍵ですね。
[2]
(1)
nが26～35までの値を取ることが分かればすぐに答えが出る問いです。
(2)
エレガントに解く方法があるのかなと思ったのですが、
地道に解くしかないようです。
つまり、具体的にP⋂RとかP⋂Sの要素を書き並べていくという事です。
P={28,32}
Q={30,35}
R={30}
S={28,35}
ですから、各集合の要素の個数は少なく、そんなに難しいわけではありません。
Qの補集合の要素を書き上げていくのは面倒かも。
ちなみに私は、日本語のまま解くという荒業を使いました。
例えば、P⋂S={26～35の中で4かつ7の倍数、つまり公倍数}={28}という具合に。
九九得意という人は、この方が解きやすいかも。
(3)
補集合がたくさん出てきて、うわぁとパニックになった人も多いでしょう。
私もパニックになって、えっとえっと、ってなりました。
冷静な対処法は2通り。
1つは、命題の対偶を使う方法。
もう1つは、ここも地道に補集合の要素を書き上げて考える方法。
もちろん楽なのは対偶を使う方法ですが、集合Uの要素が10個しかないので補集合の全要素を書き上げて考える方法もできなくはない。
多少時間がかかりますが時間に余裕がある人は両方の方法で考えて答えを求める。
私は、第1問で7点も失点しました。くやしい。
第2問
自慢ではないですが、第2問は満点取りました。
中身をさらっとおさらい。
まずは2次関数の頂点を求める問題。
①式を平方完成すればOKです。
(1)
p=-27のときがどういう意味なのかがつかめれば簡単な問題。
Gとy座標の交点のy座標がpという定義なので、x=0のときy=pという事。
p=-27なのだから、x=0かつy=-27を①式に代入して
3a2-6a-36=-27
∴a2-2a-3=0
∴(a-3)(a+1)=0
∴a=3, -1。
次にグラフの平行移動の問題です。
2次関数のグラフの平行移動の問題は、頂点がどれだけ移動しているかに注目するのが定石。
a=3のとき、Gの頂点が(-3,-36)。a=-1のとき、Gの頂点が(1,-28)。
ですから、x軸方向に4、y軸方向に8だけ平行移動すればいい事になります。
(2)
まず、Gがx軸と共有点を持つ条件を問われています。
解き方は2通り。
1つは、判別式で解く方法。
D/4=a2-(3a2-6a-36)≧0
∴-2a2+6a+36≧0
∴a2-3a-18≦0
∴(a+3)(a-6)≦0
∴-3≦a≦6
もう1つは、頂点のy座標に注目する方法。
どちらでも同じ不等式が得られるのですが、せっかくはじめにGの頂点のy座標を求めているのだから、
そちらを使った方が楽に解けます。
2a2-6a-36≦0
∴a2-3a-18≦0
あとは、判別式の解き方の途中に出てくる不等式に一致するので、答えも同じ、となります。
続いて、pの最小最大の問題。
pは、先程も書いた通り、x=0のときy=pという事でしたから、
p=3a2-6a-36
=3(a-1)2-39
と式変形できます。
aは-3～6まで動けるので、pの最小はa=1のときと分かります。
pmin=-39
です。
pが最大になるのは、a=6のときだと分かります。
グラフの対称性から、pが最大になるのは、aが動ける範囲の両端のa=-3かa=6のどちらかなのですが、
a=6の方がpのグラフの頂点から遠いため、こちらで最大を取ることが分かります。
pmax=3a2-6a-36|a=6=3×62-6×6-36=36(3-1-1)=36
と出すことができます。
もちろん、
pmax=3(a-1)2-39|a=6=3×(6-1)2-39=3×25-39=36
と計算しても良いですが、前者の方が計算は楽でしょう。
最後に、Gとx軸との共有点がすべてx＞-1になるようなaを求めろ、と。
これは、
(i) (Gの頂点のx座標)＞-1
かつ、
(ii)x=-1のときy＞0
かつ、
(iii) -3≦a≦6 (Gとx座標が共有点を持つ)
の3つの条件がともに成り立つ場合を考えればよい事になります。
(i)
Gの頂点ははじめに求めましたね。それを使います。
(Gの頂点のx座標)=-a＞-1
∴a＜1
(ii)
x=-1のとき
y=(-1)2+2a×(-1)+3a2-6a-36
=3a2-8a-35
=(a-5)(3a+7)＞0
∴a＜-7/3, 5＜a
(iii)
-3≦a≦6
(i)(ii)(iii)合わせて、
-3≦a＜-7/3
を得ます。
これがヌネノハヒフヘの答えです。
今回の2次関数の問いは、ごく標準的な問題で、奇抜な点もなくセンター特有のパターンでした。
今後も似た問いが出題される傾向は続くでしょう。
それにしても、センターさんは、パラメーター入りの2次関数が大好きですね。
次回、数IA第3,4問のレビューをします。
センター試験を実際に解いてみないと今日以降のレビューは理解できませんので、
実際に解いてからお読みになる事をおすすめします。
では、今日は数IAの第1,2問のレビューを行います。
第1問
[1]
(1)
ルートを含んだ分数式の計算です。
センターではよく出るパターンなので、特に問題ないでしょう。
(2)
ケコは(1)の結果を用いれば簡単に出る問題です。
サシスセソを求めるのがやっかいです。
私も一瞬「えっ？」となりました。
a2+b2+4(a+b)=16の両辺を2乗してa4の項を作り出すのかなと思って試行錯誤しました。
後で冷静に考えてみたら、a2+b2+4(a+b)=16にab=2をbについて解いた式b=2/aを代入するのですね。
bを消去するというのがポイントになります。
ここは、うまくセンター特有の誘導に乗れるかが鍵ですね。
[2]
(1)
nが26～35までの値を取ることが分かればすぐに答えが出る問いです。
(2)
エレガントに解く方法があるのかなと思ったのですが、
地道に解くしかないようです。
つまり、具体的にP⋂RとかP⋂Sの要素を書き並べていくという事です。
P={28,32}
Q={30,35}
R={30}
S={28,35}
ですから、各集合の要素の個数は少なく、そんなに難しいわけではありません。
Qの補集合の要素を書き上げていくのは面倒かも。
ちなみに私は、日本語のまま解くという荒業を使いました。
例えば、P⋂S={26～35の中で4かつ7の倍数、つまり公倍数}={28}という具合に。
九九得意という人は、この方が解きやすいかも。
(3)
補集合がたくさん出てきて、うわぁとパニックになった人も多いでしょう。
私もパニックになって、えっとえっと、ってなりました。
冷静な対処法は2通り。
1つは、命題の対偶を使う方法。
もう1つは、ここも地道に補集合の要素を書き上げて考える方法。
もちろん楽なのは対偶を使う方法ですが、集合Uの要素が10個しかないので補集合の全要素を書き上げて考える方法もできなくはない。
多少時間がかかりますが時間に余裕がある人は両方の方法で考えて答えを求める。
私は、第1問で7点も失点しました。くやしい。
第2問
自慢ではないですが、第2問は満点取りました。
中身をさらっとおさらい。
まずは2次関数の頂点を求める問題。
①式を平方完成すればOKです。
(1)
p=-27のときがどういう意味なのかがつかめれば簡単な問題。
Gとy座標の交点のy座標がpという定義なので、x=0のときy=pという事。
p=-27なのだから、x=0かつy=-27を①式に代入して
3a2-6a-36=-27
∴a2-2a-3=0
∴(a-3)(a+1)=0
∴a=3, -1。
次にグラフの平行移動の問題です。
2次関数のグラフの平行移動の問題は、頂点がどれだけ移動しているかに注目するのが定石。
a=3のとき、Gの頂点が(-3,-36)。a=-1のとき、Gの頂点が(1,-28)。
ですから、x軸方向に4、y軸方向に8だけ平行移動すればいい事になります。
(2)
まず、Gがx軸と共有点を持つ条件を問われています。
解き方は2通り。
1つは、判別式で解く方法。
D/4=a2-(3a2-6a-36)≧0
∴-2a2+6a+36≧0
∴a2-3a-18≦0
∴(a+3)(a-6)≦0
∴-3≦a≦6
もう1つは、頂点のy座標に注目する方法。
どちらでも同じ不等式が得られるのですが、せっかくはじめにGの頂点のy座標を求めているのだから、
そちらを使った方が楽に解けます。
2a2-6a-36≦0
∴a2-3a-18≦0
あとは、判別式の解き方の途中に出てくる不等式に一致するので、答えも同じ、となります。
続いて、pの最小最大の問題。
pは、先程も書いた通り、x=0のときy=pという事でしたから、
p=3a2-6a-36
=3(a-1)2-39
と式変形できます。
aは-3～6まで動けるので、pの最小はa=1のときと分かります。
pmin=-39
です。
pが最大になるのは、a=6のときだと分かります。
グラフの対称性から、pが最大になるのは、aが動ける範囲の両端のa=-3かa=6のどちらかなのですが、
a=6の方がpのグラフの頂点から遠いため、こちらで最大を取ることが分かります。
pmax=3a2-6a-36|a=6=3×62-6×6-36=36(3-1-1)=36
と出すことができます。
もちろん、
pmax=3(a-1)2-39|a=6=3×(6-1)2-39=3×25-39=36
と計算しても良いですが、前者の方が計算は楽でしょう。
最後に、Gとx軸との共有点がすべてx＞-1になるようなaを求めろ、と。
これは、
(i) (Gの頂点のx座標)＞-1
かつ、
(ii)x=-1のときy＞0
かつ、
(iii) -3≦a≦6 (Gとx座標が共有点を持つ)
の3つの条件がともに成り立つ場合を考えればよい事になります。
(i)
Gの頂点ははじめに求めましたね。それを使います。
(Gの頂点のx座標)=-a＞-1
∴a＜1
(ii)
x=-1のとき
y=(-1)2+2a×(-1)+3a2-6a-36
=3a2-8a-35
=(a-5)(3a+7)＞0
∴a＜-7/3, 5＜a
(iii)
-3≦a≦6
(i)(ii)(iii)合わせて、
-3≦a＜-7/3
を得ます。
これがヌネノハヒフヘの答えです。
今回の2次関数の問いは、ごく標準的な問題で、奇抜な点もなくセンター特有のパターンでした。
今後も似た問いが出題される傾向は続くでしょう。
それにしても、センターさんは、パラメーター入りの2次関数が大好きですね。
次回、数IA第3,4問のレビューをします。
