【解答】挑戦状！（タイの中学の数学に悩む４）

挑戦状！（タイの中学の数学に悩む４）の解答編

設問



引用元は塾で教える高校入試数学 塾技100　Ｐ１４４　『塾技６９外接円　例題２』


先ずはJIMMYさんから頂いた解答。



中心OからABCに向かって補助線を引きます。
すると3つの二等辺三角形△AOB、△AOC、△BOCが出来ます。

∠OBC＝∠OCB＝Ｘ、∠BOC＝180°-2Ｘというように、
以下∠OAC＝∠ACO＝Ｙ、∠AOC＝180°-2Ｙ、∠BAO＝∠OBA＝Ｚ、∠AOB＝180°-2Ｚです。
まとめると（180°-2Ｘ）+（180°-2Ｙ）+（180°-2Ｚ）＝360°だからＸ+Ｙ+Ｚ＝90°

Ｙ+Ｚ＝60°よりＸ＝30°
△BOCをBCの中点Pで半分にすると、∠OBP＝30°、∠BOP＝60°、∠OPB＝90°の三角形が出来ます。
これはOB＝2、OP＝1、PB＝√3の直角三角形です。
円の半径をRとして、OB:PB＝2:√3＝R:2の関係なので、√3R＝4、R＝4/√3＝(4√3)/3でしょうか。

（改行等一部メンカームが改変）

JIMMYさんの素晴らしい解答に感謝。m(_ _)m
参考書の解答もJIMMYさんの解答と同様であり、中心角∠ＢＯＣは円周角∠ＢＡＣの二倍で１２０°。
辺ＢＣから外接円の中心（外心）Ｏへ垂直に引いた線は、辺ＢＣを二等分し、∠ＢＯＣも二等分するのを利用して解いてある。


次は補助線を入れると小学生でも「ほら解けたｗ」って感じの解法。

１．１つの弧ＡＢからの円周角∠ａは等しい。
２．中心角（弧の両端ＡとＢから円の中心Ｏへ線を引いて出来る扇型の中心の角度）が１８０°の弧の円周角は９０°。
３．内角が３０°、６０°、９０°からなる三角形の辺の長さの割合はＡＢ：ＡＣ：ＢＣ＝１：２：√３。（上の図参照）
の３つを利用して解く。



点Ｃから円の中心Ｏを通った直線を引き、円の外周との交点をＤとする。
点Ｂから点Ｄへ直線を引く。

同一の弧ＢＣからの円周角∠ＢＡＣと∠ＢＤＣは等しく６０°。
中心角（弧の両端ＤとＣから円の中心Ｏへ線を引いて出来る扇型の中心の角度）が１８０°の弧の円周角∠ＤＢＣは９０°。
三角形の内角の和は１８０°なので、∠ＢＣＤ＝１８０－（６０＋９０）＝３０°。



内角が３０°、６０°、９０°からなる三角形の辺の長さの比はＢＤ：ＤＣ：ＢＣ＝１：２：√３であり、
比例式はＢＣ：ＤＣ＝√３：２＝４：ＤＣとなる。
比例式では内側２つの２と４の積（２×４）と外側２つの√３とＤＣの積（√３×ＤＣ）が等しくなるので、
２×４＝√３×ＤＣ　ＤＣ＝８／√３＝（８√３）／３　となる。
ＤＣは円の直径であり、求める半径は直径の半分。（（８√３）／３）÷２＝（４√３）／３

高校受験を目指す子供達　頑張れー！！！

タイの中学生向け数学ギフテッド問題の記事へのリンク→#高１入試ギフ

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