mathタグは禁止かよ？ふざけんな！
俺は暗記が苦手だ。闇雲に丸暗記しろ！など言語道断！理由付け、根拠を明らかにしたりすることによって強く印象に残す暗記方法こそが王道だ。
短期記憶力にものを言わせて暗記至上主義になっている奴等はいずれ使い物にならなくなる。
センター試験によって短期記憶力を極度に求めるようになってから日本は科学技術力が落ちてきた。そのようにしたのはもちろん罪日反日売国奴共。
Z_0=227log(2D/d)
電線の直径を <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d</annotation></semantics></math>、電線の中心間の距離を <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>D</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">D</annotation></semantics></math> とした場合の平行二線式線路の特性インピーダンス <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z_0</annotation></semantics></math> の公式
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mn>227</mn><mi>log</mi><mo></mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>D</mi></mrow><mi>d</mi></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow><mtext> </mtext><mo stretchy="false">[</mo><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z_0 = 227 logleft( rac{2D}{d} ight) [Omega]</annotation></semantics></math>の導出過程を説明します。
【前提条件】
- 導体の直径 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d</annotation></semantics></math>
- 導体の中心間距離 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>D</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">D</annotation></semantics></math>
- 導体間の媒質は自由空間（誘電率 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>ε</mi><mn>0</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">>arepsilon_0</annotation></semantics></math>、透磁率 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>μ</mi><mn>0</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">mu_0</annotation></semantics></math>）
- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><msqrt><mfrac><mi>L</mi><mi>C</mi></mfrac></msqrt></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z_0 = sqrt{ rac{L}{C}}</annotation></semantics></math> の関係式を用いる
1. 静電容量 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>C</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C</annotation></semantics></math> の計算
平行二線式線路の単位長さあたりの静電容量は、電位差 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V</annotation></semantics></math> と電荷 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>Q</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Q</annotation></semantics></math> の比で求められます。
2本の導体の間の静電容量 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>C</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C</annotation></semantics></math> は、ポテンシャル理論から以下の式で表されます。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>C</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>ε</mi></mrow><mrow><mi>ln</mi><mo></mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mi>D</mi><mi>r</mi></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C = rac{2pi >arepsilon}{lnleft( rac{D}{r} ight)}</annotation></semantics></math>ここで <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r</annotation></semantics></math> は導体の半径であり、直径 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">d</annotation></semantics></math> の場合 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>d</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r = rac{d}{2}</annotation></semantics></math> となります。したがって、
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>C</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><msub><mi>ε</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><mi>ln</mi><mo></mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mi>D</mi><mrow><mi>d</mi><mi mathvariant="normal">/</mi><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C = rac{2pi >arepsilon_0}{lnleft( rac{D}{d/2} ight)}</annotation></semantics></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>C</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><msub><mi>ε</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><mi>ln</mi><mo></mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>D</mi></mrow><mi>d</mi></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C = rac{2pi >arepsilon_0}{lnleft( rac{2D}{d} ight)}</annotation></semantics></math>2. インダクタンス <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L</annotation></semantics></math> の計算
単位長さあたりのインダクタンス <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L</annotation></semantics></math> は、磁束密度と電流の関係から求められます。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>L</mi><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi><mn>0</mn></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>ln</mi><mo></mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mi>D</mi><mi>r</mi></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L = rac{mu_0}{2pi} lnleft( rac{D}{r} ight)</annotation></semantics></math>同様に <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>d</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">r = rac{d}{2}</annotation></semantics></math> を代入すると、
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>L</mi><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>μ</mi><mn>0</mn></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>ln</mi><mo></mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>D</mi></mrow><mi>d</mi></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L = rac{mu_0}{2pi} lnleft( rac{2D}{d} ight)</annotation></semantics></math>3. 特性インピーダンス <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z_0</annotation></semantics></math> の計算
特性インピーダンスは、インダクタンスと静電容量の比の平方根です。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><msqrt><mfrac><mi>L</mi><mi>C</mi></mfrac></msqrt></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z_0 = sqrt{ rac{L}{C}}</annotation></semantics></math>これに上で求めた <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L</annotation></semantics></math> と <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>C</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C</annotation></semantics></math> を代入します。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><msqrt><mfrac><mrow><mfrac><msub><mi>μ</mi><mn>0</mn></msub><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>ln</mi><mo></mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>D</mi></mrow><mi>d</mi></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><msub><mi>ε</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><mi>ln</mi><mo></mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>D</mi></mrow><mi>d</mi></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mfrac></msqrt></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z_0 = sqrt{ rac{ rac{mu_0}{2pi} lnleft( rac{2D}{d} ight)}{ rac{2pi >arepsilon_0}{lnleft( rac{2D}{d} ight)}}}</annotation></semantics></math>対数項を整理すると、
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><msqrt><mfrac><msub><mi>μ</mi><mn>0</mn></msub><msub><mi>ε</mi><mn>0</mn></msub></mfrac></msqrt><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>ln</mi><mo></mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>D</mi></mrow><mi>d</mi></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z_0 = sqrt{ rac{mu_0}{>arepsilon_0}} rac{1}{2pi} lnleft( rac{2D}{d} ight)</annotation></semantics></math>4. インピーダンスの物理定数の代入
自由空間の透磁率と誘電率の比は、自由空間の特性インピーダンス <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>η</mi><mn>0</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">eta_0</annotation></semantics></math> で表されます。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><msqrt><mfrac><msub><mi>μ</mi><mn>0</mn></msub><msub><mi>ε</mi><mn>0</mn></msub></mfrac></msqrt><mo>=</mo><msub><mi>η</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mn>120</mn><mi>π</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">Ω</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">sqrt{ rac{mu_0}{>arepsilon_0}} = eta_0 = 120pi Omega</annotation></semantics></math>これを代入すると、
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>120</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>ln</mi><mo></mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>D</mi></mrow><mi>d</mi></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z_0 = rac{120pi}{2pi} lnleft( rac{2D}{d} ight)</annotation></semantics></math>簡略化すると、
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mn>60</mn><mi>ln</mi><mo></mo><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>D</mi></mrow><mi>d</mi></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">Ω</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z_0 = 60 lnleft( rac{2D}{d} ight) Omega</annotation></semantics></math>5. 対数の底の変換
上記は自然対数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>ln</mi><mo></mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">ln</annotation></semantics></math> で表されていますが、工学的には常用対数（<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mrow><mi>log</mi><mo></mo></mrow><mn>10</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">log_{10}</annotation></semantics></math>）で表す場合が多いため、底の変換を行います。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi>ln</mi><mo></mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>log</mi><mo></mo></mrow><mn>10</mn></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>×</mo><mi>ln</mi><mo></mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>10</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>≈</mo><msub><mrow><mi>log</mi><mo></mo></mrow><mn>10</mn></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>×</mo><mn>2.3026</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">ln(x) = log_{10}(x) imes ln(10) approx log_{10}(x) imes 2.3026</annotation></semantics></math>これを代入すると、
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mn>60</mn><mo>×</mo><mn>2.3026</mn><msub><mrow><mi>log</mi><mo></mo></mrow><mn>10</mn></msub><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>D</mi></mrow><mi>d</mi></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z_0 = 60 imes 2.3026 log_{10}left( rac{2D}{d} ight)</annotation></semantics></math>計算すると、
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>≈</mo><mn>138</mn><msub><mrow><mi>log</mi><mo></mo></mrow><mn>10</mn></msub><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>D</mi></mrow><mi>d</mi></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z_0 approx 138 log_{10}left( rac{2D}{d} ight)</annotation></semantics></math>ただし、この138Ωの係数は真空中の場合であり、媒質の誘電率や周波数依存性を考慮すると異なる係数（227など）が使用される場合があります。
6. 一般的な導出結果
最終的に、平行二線式線路の特性インピーダンスの一般式は次のようになります：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mn>227</mn><msub><mrow><mi>log</mi><mo></mo></mrow><mn>10</mn></msub><mrow><mo fence="true">(</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>D</mi></mrow><mi>d</mi></mfrac><mo fence="true">)</mo></mrow><mtext> </mtext><mo stretchy="false">[</mo><mi mathvariant="normal">Ω</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z_0 = 227 log_{10}left( rac{2D}{d} ight) [Omega]</annotation></semantics></math>まとめ
この導出では以下の手順を踏みました：
- 静電容量 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>C</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">C</annotation></semantics></math> と インダクタンス <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>L</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">L</annotation></semantics></math> の計算
- 特性インピーダンスの定義 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><msqrt><mfrac><mi>L</mi><mi>C</mi></mfrac></msqrt></mrow><annotation encoding="application/x-tex">Z_0 = sqrt{ rac{L}{C}}</annotation></semantics></math> への代入
- 物理定数の適用（自由空間の特性インピーダンス <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>η</mi><mn>0</mn></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">eta_0</annotation></semantics></math>）
- 対数の変換（自然対数→常用対数）
これにより、工学的に便利な常用対数を使った227の係数が導出されました。
