「（その１）タイの小学生向けの模試等へ出題される、解答パターンを知らないと解けない計算問題はこれ。」の続き。
今日は階差数列をやってみる。完全に忘れてたと言うより、学生の時は公式を覚えて解いていただけで、本質的な物を全く理解していなかったのが、よ～く判った。
先ずは階差数列の前に等差数列の復習。階差数列の一般項を求める式を作る時に、等差数列の和の公式を使うので書いておく。
1 5 9 13 17という４ずつ増える数列が有る。細かく書くと・・
一番目の数 1
+4
二番目の数 5
+4
三番目の数 9
+4
四番目の数 13
+4
五番目の数 17
と4ずつ増える（公差4）の数字の列だ。
この数列のｎ番目の数Anは
An=一番目の数１+公差４×（ｎ-1）=1+4ｎ-4=4ｎ-3で表される。
一番目の数 ｎ=1なので An=4ｎ-3=4-3=1
二番目の数 ｎ=2なので An=4ｎ-3=8-3=5
三番目の数 ｎ=3なので An=4ｎ-3=12-3=9
四番目の数 ｎ=4なので An=4ｎ-3=16-3=13
五番目の数 ｎ=5なので An=4ｎ-3=20-3=17
となり、間違っていないのが判る。
そして数列 1 5 9 13 17 の和 Sn=1+5+9+13+17 は
Sn=数列の数ｎ（ここでは5）×（数列の最初の数字１+数列の最後の数字17）÷2でも求められ、
Sn=５×（1+17）÷2=45となる。
そしてタイヤイさんから頂いた等差数列の和の公式の解説。（上の数列に合わせて少し改変）
A= 1 +5 +9+13+17
A=17+13 +9 +5 +1
のように同じ数列を２段に書いてください。
２段目の数列は大きいほうから書き始めます。これが味噌なんです。まあ本に書いてありますけど。
そうすると、不思議不思議。１番目 ２番目 ３番 最後と
上下足すと みんな同じ合計数字18になります。
この同じ数字が何組できるか？5個の数列なら5組できるはずです。
ただし数列２段分の合計が出ますので、数列一つの合計（級数といいます）は、２で割る必要があります。
これが公式が２で割られている意味です。
さて、等差数列を理解したところで階差数列へ入ろう。階差とは数列の一つ前の数との差である。
先ずは階差数列って何って話から。実際に見てもらおう。
1 2 4 7 11 16という数列の一般項Anを表す式を求める問題。数列を細かく書くと
一番目の数 n=1 A1=1
一番目の階差 i=1 K1=1
二番目の数 n=2 A2=2
二番目の階差 i=2 K2=2
三番目の数 n=3 A3=4
三番目の階差 i=3 K3=3
四番目の数 n=4 A4=7
四番目の階差 i=4 K4=4
五番目の数 n=5 A5=11
五番目の階差 i=5 K5=5
六番目の数 n=6 A6=16
となる。
n=1の時
A1=1
n=2の時
A2=A1+K1=2
n=3の時
A3=A1+K1+K2=4
n=4の時
A4=A1+K1+K2+K3=7
n=5の時
A5=A1+K1+K2+K3+K4=11
n=6の時
A6=A1+K1+K2+K3+K4+K5=16
とも表すことが出来る。
これらよりｎ≧２の時に、この数列のn番目を表す式Anは、A1とK1からKn-1までの和だと分かる。
階差は1 2 3 4 5と規則的な数列で、数列Anの階差による数列Kiを数列Anの階差数列という。ここの階差数列Kiは、初項K1=1、公差1の等差数列であり、i番目の階差を表す式は Ki=1+1(i-1)=i で表される。
A1とK1からKn-1までの和、すなわちK1からKiまでの和は、Kiが等差数列なのでi(1+i)/2であり、i=n-1なので(n-1)n/2となる。
階差数列のn番目を表す式Anは、
ｎ≧２の時A1とK1からKn-1までの和であり、
An=1+(n-1)n/2と表される。
試しにAnの７番目の数を求めると A7=1+(7-1)7/2=22 となる。大丈夫、間違えてないｗ。
＜答え＞
元の数列をAn，階差数列をKiとおくと
Ki １，２，３，４・・・より
Ki=i
ア
ｎ≧２の時 An=1+(n-1)n/2
イ
ｎ＝１の時 A1=1
ア、イより
ｎ≧１の時 An=1+(n-1)n/2
一応ここまでΣを出さない階差数列。あ～疲れたｗ
さて、ここからΣについて。
Σ（シグマ）は数列などの総和を表す。
5
Σi ならば、iが１から５へ１つずつ増えながら足していく。
i=1
1+2+3+4+5=5(1+5)/2=15 となる。
n
Σi ならば、iが１からnへ１つずつ増えながら足していく。
i=1
n(1+n)/2=となる。
5
Σ3 ならば、iは１～５の５回なので、３を５回足す。
i=1
3+3+3+3+3=3×5=15 となる。
n
Σ(2i+2) ならば、
i=1
2×n(1+n)/2 + 2n = n2+3n となる。
数列Anの階差数列Kiが等差数列の時に、総和を求めるのは必ずi=n-1となるので、
n-1
Σi =n(n-1)/2
i=1
n-1
Σ数字（例えば2）=2(n-1)
i=1
ある数列Anの階差数列の一般項を表す式がKi=2i+3ならば、
n-1
Σ(2i+3)=2*n(n-1)/2+3(n-1)=n2+2n-3
i=1
と、一応式の成り立ちは読んだ上で公式を覚えてしまうのが小学生には簡単かも。
1 2 4 7 11 16という数列の一般項Anを表す式を求める上の問題ならば、
Anの階差数列Kiは、1 2 3 4 5 であり、初項１公差１の等差数列なので、
一般項Ki=1+1(i-1)=i
n≧2の時
n-1
Σi+1=An （Σを使うので文字ズレを避けて逆から書きｗ）
i=1
An=n(n-1)/2+1=(n2-n+2)/2
n＝1の時
A1=1
よってn≧1の時
An=(n2-n+2)/2
結局、娘にはこうやって解かせた。
勉強しただけの記憶はあっても、内容は真っ白ｗ。最初から勉強し直した。
参考にしたのはタイヤイさんから頂いたコメントと高校数学の基本問題のページの階差数列の項目。大変助けられた。
算数がまるで駄目な私が書いているので、間違えていたら指摘を！
次はタイヤイさんから頂いた解説。
1 2 4 7 11 16 22 An 差 1 2 3 4 5 6 Bｎ-1
11=1+ (1+2+3+4)
16=1+(1+2+3+4+5)
Anは上の数列の一番目の数字１に 下の数列の
一番目の数字1から ｎ-1番目の数字ｎ－1
をたすとよいです。ｎ－1番目と一個少なくなります。
B､ｎ-１まで足す。Anは１足す B1+B2+B3+｡｡｡Bn-1
An=1+(1+2+3+4+5+6+..............+........+(n-1)
（1+2+3+4+5+6+........+n-1）
は公差1 はじめの数字１の
一番簡単な数列です。
ｎ-1 個の 数列です。 はじめの数と終わりの数を足すとｎです。これがｎ-1組あります。
その後、２で割ります。
ｎ （ｎ-1）÷２ です。
An=1+ｎ （ｎ-1）÷２
ひとまずﾄｳｺｳ ｡
ほかの方の答え、、 質問は５０番目までの和
この数列の規則性に着目します。
2番目の数＝初めの数1＋1
3番目の数＝初めの数1＋（1+2）
4番目の数＝初めの数1＋（1+2+3）
5番目の数＝初めの数1＋（1+2+3+4）
6番目の数＝初めの数1＋（1+2+3+4+5）
・
・
・
すると、50番目の数＝初めの数1+（1+2+3+4+5+・・・・+49）
で求めることができるとわかります。
1～49までの和は、初めの数が1、差が1の等差数列で49番目までの和なので、等差数列の和の公式で求めます。
よって、50番目の数＝1+（1+49）×49÷2＝1226
この数列を{A[n]}とすれば、
A[1]=1
A[2]=1+1=2
A[3]=1+1+2=4
A[4]=1+1+2+3=7
A[5]=1+1+2+3+4=11
..................
A[50]=1+1+2+3+4+...............+49
.........=1+49(49+1)/2=1226・・・答え
***********参考までに************
一般項は
A[n]=1+1+2+3+4+....................+(n-1)
....=1+(n-1)(n-1+1)/2
....=(n²-n+2)/2
◇ Σk=n(n+1)/2を使いました
◇ 一般的には、階差数列の処理をします。
私も手書きではシグマΣとかで考えていますが、インターネット投稿は苦手です。
ｋ＝ｎ
Σ Ak
ｋ＝1
の感じです。
コメント欄で階差数列に解説頂いたのはここまで。
私が解答するのに大変参考になった。＜(＠)＞
さて、ここでタイの小学生向けのギフテッド問題集から1問。
1,9992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
＜答え＞1,999,000
本当に小学生が解くの？って思うような問題で、うちの娘なんて全然解けないが、出来る子はサクッと解いてしまうらしい。タイの小学生向けの模試等へ出題される、解答パターンを知らないと解けない計算問題について２回に渡って記事にしたが、タイの地方の中学の普通科ではこのような問題は出題されない。難しくても以前紹介した黄色い問題集レベルらしい。医学部やバンコクの有名大学を目指すならば、中学からギフテッド系コースへ入るべきで、これらの２回の記事で紹介したような問題の解き方も知っていた方が良い。小学生の時から大変だねって思うが、ギフテッド系コースと普通科では授業時間も違い、授業で教える内容の濃さも違う。そして定期テストや大学入試は当然共通だから、勝ち抜くのは非常に困難。ギフテッドに落ちて普通科に入った息子が苦労しているのを見ると、出来れば娘は・・と思って、娘が小学校へ入った頃から騒動する親馬鹿全開な私。
私が小学生の時は、本を読んだり、プラモデルを作ったり、魚釣りに行ったりで、遊んでばかりだったのになあ。
タイの小学生向け算数ギフテッド問題の記事へのリンク→#中１入試ギフ
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今日は階差数列をやってみる。完全に忘れてたと言うより、学生の時は公式を覚えて解いていただけで、本質的な物を全く理解していなかったのが、よ～く判った。
先ずは階差数列の前に等差数列の復習。階差数列の一般項を求める式を作る時に、等差数列の和の公式を使うので書いておく。
1 5 9 13 17という４ずつ増える数列が有る。細かく書くと・・
一番目の数 1
+4
二番目の数 5
+4
三番目の数 9
+4
四番目の数 13
+4
五番目の数 17
と4ずつ増える（公差4）の数字の列だ。
この数列のｎ番目の数Anは
An=一番目の数１+公差４×（ｎ-1）=1+4ｎ-4=4ｎ-3で表される。
一番目の数 ｎ=1なので An=4ｎ-3=4-3=1
二番目の数 ｎ=2なので An=4ｎ-3=8-3=5
三番目の数 ｎ=3なので An=4ｎ-3=12-3=9
四番目の数 ｎ=4なので An=4ｎ-3=16-3=13
五番目の数 ｎ=5なので An=4ｎ-3=20-3=17
となり、間違っていないのが判る。
そして数列 1 5 9 13 17 の和 Sn=1+5+9+13+17 は
Sn=数列の数ｎ（ここでは5）×（数列の最初の数字１+数列の最後の数字17）÷2でも求められ、
Sn=５×（1+17）÷2=45となる。
そしてタイヤイさんから頂いた等差数列の和の公式の解説。（上の数列に合わせて少し改変）
A= 1 +5 +9+13+17
A=17+13 +9 +5 +1
のように同じ数列を２段に書いてください。
２段目の数列は大きいほうから書き始めます。これが味噌なんです。まあ本に書いてありますけど。
そうすると、不思議不思議。１番目 ２番目 ３番 最後と
上下足すと みんな同じ合計数字18になります。
この同じ数字が何組できるか？5個の数列なら5組できるはずです。
ただし数列２段分の合計が出ますので、数列一つの合計（級数といいます）は、２で割る必要があります。
これが公式が２で割られている意味です。
さて、等差数列を理解したところで階差数列へ入ろう。階差とは数列の一つ前の数との差である。
先ずは階差数列って何って話から。実際に見てもらおう。
1 2 4 7 11 16という数列の一般項Anを表す式を求める問題。数列を細かく書くと
一番目の数 n=1 A1=1
一番目の階差 i=1 K1=1
二番目の数 n=2 A2=2
二番目の階差 i=2 K2=2
三番目の数 n=3 A3=4
三番目の階差 i=3 K3=3
四番目の数 n=4 A4=7
四番目の階差 i=4 K4=4
五番目の数 n=5 A5=11
五番目の階差 i=5 K5=5
六番目の数 n=6 A6=16
となる。
n=1の時
A1=1
n=2の時
A2=A1+K1=2
n=3の時
A3=A1+K1+K2=4
n=4の時
A4=A1+K1+K2+K3=7
n=5の時
A5=A1+K1+K2+K3+K4=11
n=6の時
A6=A1+K1+K2+K3+K4+K5=16
とも表すことが出来る。
これらよりｎ≧２の時に、この数列のn番目を表す式Anは、A1とK1からKn-1までの和だと分かる。
階差は1 2 3 4 5と規則的な数列で、数列Anの階差による数列Kiを数列Anの階差数列という。ここの階差数列Kiは、初項K1=1、公差1の等差数列であり、i番目の階差を表す式は Ki=1+1(i-1)=i で表される。
A1とK1からKn-1までの和、すなわちK1からKiまでの和は、Kiが等差数列なのでi(1+i)/2であり、i=n-1なので(n-1)n/2となる。
階差数列のn番目を表す式Anは、
ｎ≧２の時A1とK1からKn-1までの和であり、
An=1+(n-1)n/2と表される。
試しにAnの７番目の数を求めると A7=1+(7-1)7/2=22 となる。大丈夫、間違えてないｗ。
＜答え＞
元の数列をAn，階差数列をKiとおくと
Ki １，２，３，４・・・より
Ki=i
ア
ｎ≧２の時 An=1+(n-1)n/2
イ
ｎ＝１の時 A1=1
ア、イより
ｎ≧１の時 An=1+(n-1)n/2
一応ここまでΣを出さない階差数列。あ～疲れたｗ
さて、ここからΣについて。
Σ（シグマ）は数列などの総和を表す。
5
Σi ならば、iが１から５へ１つずつ増えながら足していく。
i=1
1+2+3+4+5=5(1+5)/2=15 となる。
n
Σi ならば、iが１からnへ１つずつ増えながら足していく。
i=1
n(1+n)/2=となる。
5
Σ3 ならば、iは１～５の５回なので、３を５回足す。
i=1
3+3+3+3+3=3×5=15 となる。
n
Σ(2i+2) ならば、
i=1
2×n(1+n)/2 + 2n = n2+3n となる。
数列Anの階差数列Kiが等差数列の時に、総和を求めるのは必ずi=n-1となるので、
n-1
Σi =n(n-1)/2
i=1
n-1
Σ数字（例えば2）=2(n-1)
i=1
ある数列Anの階差数列の一般項を表す式がKi=2i+3ならば、
n-1
Σ(2i+3)=2*n(n-1)/2+3(n-1)=n2+2n-3
i=1
と、一応式の成り立ちは読んだ上で公式を覚えてしまうのが小学生には簡単かも。
1 2 4 7 11 16という数列の一般項Anを表す式を求める上の問題ならば、
Anの階差数列Kiは、1 2 3 4 5 であり、初項１公差１の等差数列なので、
一般項Ki=1+1(i-1)=i
n≧2の時
n-1
Σi+1=An （Σを使うので文字ズレを避けて逆から書きｗ）
i=1
An=n(n-1)/2+1=(n2-n+2)/2
n＝1の時
A1=1
よってn≧1の時
An=(n2-n+2)/2
結局、娘にはこうやって解かせた。
勉強しただけの記憶はあっても、内容は真っ白ｗ。最初から勉強し直した。
参考にしたのはタイヤイさんから頂いたコメントと高校数学の基本問題のページの階差数列の項目。大変助けられた。
算数がまるで駄目な私が書いているので、間違えていたら指摘を！
次はタイヤイさんから頂いた解説。
1 2 4 7 11 16 22 An 差 1 2 3 4 5 6 Bｎ-1
11=1+ (1+2+3+4)
16=1+(1+2+3+4+5)
Anは上の数列の一番目の数字１に 下の数列の
一番目の数字1から ｎ-1番目の数字ｎ－1
をたすとよいです。ｎ－1番目と一個少なくなります。
B､ｎ-１まで足す。Anは１足す B1+B2+B3+｡｡｡Bn-1
An=1+(1+2+3+4+5+6+..............+........+(n-1)
（1+2+3+4+5+6+........+n-1）
は公差1 はじめの数字１の
一番簡単な数列です。
ｎ-1 個の 数列です。 はじめの数と終わりの数を足すとｎです。これがｎ-1組あります。
その後、２で割ります。
ｎ （ｎ-1）÷２ です。
An=1+ｎ （ｎ-1）÷２
ひとまずﾄｳｺｳ ｡
ほかの方の答え、、 質問は５０番目までの和
この数列の規則性に着目します。
2番目の数＝初めの数1＋1
3番目の数＝初めの数1＋（1+2）
4番目の数＝初めの数1＋（1+2+3）
5番目の数＝初めの数1＋（1+2+3+4）
6番目の数＝初めの数1＋（1+2+3+4+5）
・
・
・
すると、50番目の数＝初めの数1+（1+2+3+4+5+・・・・+49）
で求めることができるとわかります。
1～49までの和は、初めの数が1、差が1の等差数列で49番目までの和なので、等差数列の和の公式で求めます。
よって、50番目の数＝1+（1+49）×49÷2＝1226
この数列を{A[n]}とすれば、
A[1]=1
A[2]=1+1=2
A[3]=1+1+2=4
A[4]=1+1+2+3=7
A[5]=1+1+2+3+4=11
..................
A[50]=1+1+2+3+4+...............+49
.........=1+49(49+1)/2=1226・・・答え
***********参考までに************
一般項は
A[n]=1+1+2+3+4+....................+(n-1)
....=1+(n-1)(n-1+1)/2
....=(n²-n+2)/2
◇ Σk=n(n+1)/2を使いました
◇ 一般的には、階差数列の処理をします。
私も手書きではシグマΣとかで考えていますが、インターネット投稿は苦手です。
ｋ＝ｎ
Σ Ak
ｋ＝1
の感じです。
コメント欄で階差数列に解説頂いたのはここまで。
私が解答するのに大変参考になった。＜(＠)＞
さて、ここでタイの小学生向けのギフテッド問題集から1問。
1,9992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
＜答え＞1,999,000
本当に小学生が解くの？って思うような問題で、うちの娘なんて全然解けないが、出来る子はサクッと解いてしまうらしい。タイの小学生向けの模試等へ出題される、解答パターンを知らないと解けない計算問題について２回に渡って記事にしたが、タイの地方の中学の普通科ではこのような問題は出題されない。難しくても以前紹介した黄色い問題集レベルらしい。医学部やバンコクの有名大学を目指すならば、中学からギフテッド系コースへ入るべきで、これらの２回の記事で紹介したような問題の解き方も知っていた方が良い。小学生の時から大変だねって思うが、ギフテッド系コースと普通科では授業時間も違い、授業で教える内容の濃さも違う。そして定期テストや大学入試は当然共通だから、勝ち抜くのは非常に困難。ギフテッドに落ちて普通科に入った息子が苦労しているのを見ると、出来れば娘は・・と思って、娘が小学校へ入った頃から騒動する親馬鹿全開な私。
私が小学生の時は、本を読んだり、プラモデルを作ったり、魚釣りに行ったりで、遊んでばかりだったのになあ。
タイの小学生向け算数ギフテッド問題の記事へのリンク→#中１入試ギフ
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