前回の記事「小学校で模試へ出る算数を教えない驚きの理由」へ書いた、プラテープ殿下主催の算数の試験で出された問題
x2-y2=61 の時の x2+y2の値を求めなさい。
の解答。
先ずはタイヤイさんからコメント欄へ頂いた解答と解説。
これは数列関係ないですね。
2乗の和は、合計を出す 公式がものすごく難しいのです。
これは因数分解です。
ｘの２乗 引くｙの２乗でしょ？
まず(ｘ+y)(x-y)=61
掛けて６１になる数字の組み合わせですね。
また、答えが複数か？
と思ったら、
６１をためしたら ６１ｘ １しかありません。
６１って素数ですね。
前にメンカームさんが書いておられた、一から１００までの 素数を覚えさすという意味が分かりました。
素数とは一以外で割れない数字ですね。
だから ６１ｘ １しかありません。
ただし
x+y=61
x-y=1
の方程式を解く能力は必要ですが、
２ｘ＝62 ｘ＝３１
ｙ＝３０です。
もろに差が一の２乗数の組み合わせでした。しかしこれは、この問題とは関係ありませんでした。
なんじゃ偉い簡単じゃと思いました。ところが念のため
x+y=1
x-y=61も
試してみました ｘ＝31が出ます。
なんと ｙ＝ -30 となります。
問題は x2+y2の値を求めなさい。
でしたね 、答えは一つになりました
961+900です。
1861です。
この問は 因数分解（ と素数に少し関係。）
ただし かけて６１になる数字は
必ず２組あるというのは 覚えておくひつようがありますね。これは中学の問題です。
(x+y)(x-y)=61 かけて６１になる組み合わせは必ず２組あるということです。注意。油断しないで。
x+y=61
x-y=1
の時
x+y=1
x-y=61も
x2-y2
ｘの２乗 引くｙの２乗
が出てきたら
まず因数分解ですよ。かけて６１になる数字を探すのです。
２乗数の差が６１になる数字の組み合わせなんか、、探せません。
普通、足して１ 引いて６１という数字なんか出てきませんよね。自然数の世界では。
１０歳の頭では難しいですよ。マイナスを引いたらプラスになるなんて。
借金を踏み倒したら、、プラスになるというイメージですか。
現実の世界でも。
そんなことが起こるなら、赤字の会社が合併すれば
黒字になりますわ。あり得ない。
しかし 赤字会社を売れば黒字になる？かも
少なくとも経費になって、本業の黒字から引けますね。
すいません ここは 大人の話ですので、子供さんの算数とは関係がないので飛ばしてください。
ｎの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ） をまず理解します。これは因数分解の勉強です。
隣り合うまたは近い 、２乗の差 の具体的数字がたくさん出てきたら、こんな問題、
1999の２乗-1998の２乗＋１９９７の２乗-1996の２乗
+1995の２乗-1994の２乗+、、、、３の２乗-２の２乗
+１
奇数の２乗から偶数の２乗を引いてます。
これは、数列の問題です。数列では
隣り合う２乗数の差、がでてきます。
この時は ２乗数の差 をもとの数字の和に
の考え方です。
この問題は数列ではありません。
ｎの2乗 引く ｋの２乗の簡単な 式が出てきたら
因数分解です。
ｎの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）を使います。
かけて６１なら探せる。
２ 2
X －Y が出てきたら
掛け算。と憶えましょう。
答えを簡単にするために 、
２ 2
X －Y ＝素数
の問題にしたのです。
この素数をさがすのはしんどいですよ。
ところが ｘ－ｙ＝１
なら簡単。
２ ２
X －Y ＝X+Y ですから。
X+Y ＝89なら
X=４５ Y=４４ とかすぐ見つけられます。
上の問題ですがｘ＝３０ ｙ＝２５ と仮定しても
２ ２
X －Y ＝275 となります。
あら、うまい具合に ２７５ になりなした。
５５ｘ５ しかないと喜んでいたら ２７５ｘ１もありました。原則答えは４つありますね。
ｘ+ｙとｘ-ｙが
２７５と１の時は
X=138とY=137も答えになります。
ほかに
x=138 y=-137 x=30 y=-25
も答えになります
ただし ２乗数の和は
２通りですね。
まあ、何とかできる。
ｘ+ｙは１００以下であると、あれば
こたえは 一つ、
こっちは、簡単 900+625です
ところで、
ｘの３乗 引く yの３乗の公式も そのうち覚えましょうね。
因数分解の時役立ちます。
３乗の和の因数分解はできません。
ｎ乗数の和は因数分解できないのです。
ところで
３ ３
X - Y ＝37
の時 XとYを 求めなさい？
超難しいですね。
ただし X－Y=1であると
なれば
簡単ですよ。この場合はｘの３乗 引く yの３乗の公式
は必要ありません。
答えは４と３です。
毎回詳しく教えて頂き、大変感謝している。
次は同じ内容だが簡単に
x2-y2=61
(x+y)(x-y)=61
61は素数であり、2つの整数を掛けて61になるのは、1×61=61と61×1=61 の２つ。
x+y=1 x-y=61 の時
x=1-y -2y=60 y=-30 x=31
x+y=61 x-y=1 の時
x=y+1 2y=60 y=30 x=31
どちらの場合でも
x2+y2=961+900=1861 ＜答え＞1861
通りすがりさんから「別の回答？ 」と頂いたのがこちら。
x^2 + y^2 = 61
どうでしょう？
私はこれならどうだと別の問題を頂いたかと勘違いしていたが、
もう一度「x^2 + y^2の答えを出せというのが問題なんですけど。そのとおりですね。」 と、コメント頂いたのがこちら。
タイトル以外の条件がなかったもので、たまたま ｘ か ｙ を０にすれば同じ答えになりました。
私は既に棺桶に片足を突っ込んだ老人なので、耄碌していて、それ以上は考えつきませんでした。
また出題は x^2 + y^2= なので解答は１ヶでよろしいのでは？
確かにそうだ。ｘとｙについて整数とは条件が付いてないので、ｘが√61もしくは-√61で、ｙが０ならば、
x2+y2=61も正解だろう。
x=8 y=√3でも、x2-y2=61であり、x2+y2=67も可能だ。
私はそういうのになかなか気が付かない。
通りすがりさん、素晴らしい！
今回は答えが一つだと思っていたが、また複数の答えになった。
タイは「特に断らない限り文字は整数を表す」等の前提条件が足りない。
そしてx2+y2=61は合っているのに採点時に誤りとされてしまう。
だから得点は公表しても、解答用紙は返さないのかも？学校の定期試験でも戻されない。
先日の試験でも試験終了時に出題用紙を集め、ごちゃ混ぜにしてから受験者に配られた。
解答時にメモしていても、自分の出題用紙は貰えないので一切証拠がない。
間違えてないのに得点が足りないなど、後々のトラブルを防ぐ為だろうか？
タイの小学生向け算数ギフテッド問題の記事へのリンク→#中１入試ギフ
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x2-y2=61 の時の x2+y2の値を求めなさい。
の解答。
先ずはタイヤイさんからコメント欄へ頂いた解答と解説。
これは数列関係ないですね。
2乗の和は、合計を出す 公式がものすごく難しいのです。
これは因数分解です。
ｘの２乗 引くｙの２乗でしょ？
まず(ｘ+y)(x-y)=61
掛けて６１になる数字の組み合わせですね。
また、答えが複数か？
と思ったら、
６１をためしたら ６１ｘ １しかありません。
６１って素数ですね。
前にメンカームさんが書いておられた、一から１００までの 素数を覚えさすという意味が分かりました。
素数とは一以外で割れない数字ですね。
だから ６１ｘ １しかありません。
ただし
x+y=61
x-y=1
の方程式を解く能力は必要ですが、
２ｘ＝62 ｘ＝３１
ｙ＝３０です。
もろに差が一の２乗数の組み合わせでした。しかしこれは、この問題とは関係ありませんでした。
なんじゃ偉い簡単じゃと思いました。ところが念のため
x+y=1
x-y=61も
試してみました ｘ＝31が出ます。
なんと ｙ＝ -30 となります。
問題は x2+y2の値を求めなさい。
でしたね 、答えは一つになりました
961+900です。
1861です。
この問は 因数分解（ と素数に少し関係。）
ただし かけて６１になる数字は
必ず２組あるというのは 覚えておくひつようがありますね。これは中学の問題です。
(x+y)(x-y)=61 かけて６１になる組み合わせは必ず２組あるということです。注意。油断しないで。
x+y=61
x-y=1
の時
x+y=1
x-y=61も
x2-y2
ｘの２乗 引くｙの２乗
が出てきたら
まず因数分解ですよ。かけて６１になる数字を探すのです。
２乗数の差が６１になる数字の組み合わせなんか、、探せません。
普通、足して１ 引いて６１という数字なんか出てきませんよね。自然数の世界では。
１０歳の頭では難しいですよ。マイナスを引いたらプラスになるなんて。
借金を踏み倒したら、、プラスになるというイメージですか。
現実の世界でも。
そんなことが起こるなら、赤字の会社が合併すれば
黒字になりますわ。あり得ない。
しかし 赤字会社を売れば黒字になる？かも
少なくとも経費になって、本業の黒字から引けますね。
すいません ここは 大人の話ですので、子供さんの算数とは関係がないので飛ばしてください。
ｎの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ） をまず理解します。これは因数分解の勉強です。
隣り合うまたは近い 、２乗の差 の具体的数字がたくさん出てきたら、こんな問題、
1999の２乗-1998の２乗＋１９９７の２乗-1996の２乗
+1995の２乗-1994の２乗+、、、、３の２乗-２の２乗
+１
奇数の２乗から偶数の２乗を引いてます。
これは、数列の問題です。数列では
隣り合う２乗数の差、がでてきます。
この時は ２乗数の差 をもとの数字の和に
の考え方です。
この問題は数列ではありません。
ｎの2乗 引く ｋの２乗の簡単な 式が出てきたら
因数分解です。
ｎの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）を使います。
かけて６１なら探せる。
２ 2
X －Y が出てきたら
掛け算。と憶えましょう。
答えを簡単にするために 、
２ 2
X －Y ＝素数
の問題にしたのです。
この素数をさがすのはしんどいですよ。
ところが ｘ－ｙ＝１
なら簡単。
２ ２
X －Y ＝X+Y ですから。
X+Y ＝89なら
X=４５ Y=４４ とかすぐ見つけられます。
上の問題ですがｘ＝３０ ｙ＝２５ と仮定しても
２ ２
X －Y ＝275 となります。
あら、うまい具合に ２７５ になりなした。
５５ｘ５ しかないと喜んでいたら ２７５ｘ１もありました。原則答えは４つありますね。
ｘ+ｙとｘ-ｙが
２７５と１の時は
X=138とY=137も答えになります。
ほかに
x=138 y=-137 x=30 y=-25
も答えになります
ただし ２乗数の和は
２通りですね。
まあ、何とかできる。
ｘ+ｙは１００以下であると、あれば
こたえは 一つ、
こっちは、簡単 900+625です
ところで、
ｘの３乗 引く yの３乗の公式も そのうち覚えましょうね。
因数分解の時役立ちます。
３乗の和の因数分解はできません。
ｎ乗数の和は因数分解できないのです。
ところで
３ ３
X - Y ＝37
の時 XとYを 求めなさい？
超難しいですね。
ただし X－Y=1であると
なれば
簡単ですよ。この場合はｘの３乗 引く yの３乗の公式
は必要ありません。
答えは４と３です。
毎回詳しく教えて頂き、大変感謝している。
次は同じ内容だが簡単に
x2-y2=61
(x+y)(x-y)=61
61は素数であり、2つの整数を掛けて61になるのは、1×61=61と61×1=61 の２つ。
x+y=1 x-y=61 の時
x=1-y -2y=60 y=-30 x=31
x+y=61 x-y=1 の時
x=y+1 2y=60 y=30 x=31
どちらの場合でも
x2+y2=961+900=1861 ＜答え＞1861
通りすがりさんから「別の回答？ 」と頂いたのがこちら。
x^2 + y^2 = 61
どうでしょう？
私はこれならどうだと別の問題を頂いたかと勘違いしていたが、
もう一度「x^2 + y^2の答えを出せというのが問題なんですけど。そのとおりですね。」 と、コメント頂いたのがこちら。
タイトル以外の条件がなかったもので、たまたま ｘ か ｙ を０にすれば同じ答えになりました。
私は既に棺桶に片足を突っ込んだ老人なので、耄碌していて、それ以上は考えつきませんでした。
また出題は x^2 + y^2= なので解答は１ヶでよろしいのでは？
確かにそうだ。ｘとｙについて整数とは条件が付いてないので、ｘが√61もしくは-√61で、ｙが０ならば、
x2+y2=61も正解だろう。
x=8 y=√3でも、x2-y2=61であり、x2+y2=67も可能だ。
私はそういうのになかなか気が付かない。
通りすがりさん、素晴らしい！
今回は答えが一つだと思っていたが、また複数の答えになった。
タイは「特に断らない限り文字は整数を表す」等の前提条件が足りない。
そしてx2+y2=61は合っているのに採点時に誤りとされてしまう。
だから得点は公表しても、解答用紙は返さないのかも？学校の定期試験でも戻されない。
先日の試験でも試験終了時に出題用紙を集め、ごちゃ混ぜにしてから受験者に配られた。
解答時にメモしていても、自分の出題用紙は貰えないので一切証拠がない。
間違えてないのに得点が足りないなど、後々のトラブルを防ぐ為だろうか？
タイの小学生向け算数ギフテッド問題の記事へのリンク→#中１入試ギフ
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