先日の記事「（その２）タイの小学生向けの模試等へ出題される、解答パターンを知らないと解けない計算問題はこれ。」の最後に書いた問題
1,9992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
の解答を書いてみる。
先ずはタイヤイさんからコメント欄へ頂いた解答。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
実際はこうでしょう
19992-19982+19972-19962+19952-19942+、、、、32-22+1
奇数の2乗から偶数の2乗を引いてます。
奇数の前は+で 偶数の前は-です。
だから 最後は32-22になります。
1は1です。無視します。
まとめると
1 5 9 13 17という４ずつ増える数列が出てきましたよ。偶然かな？
最後の数字は3997でしたね
1+5+9+13+17+,,,,,,,,,,+3997を出せばよいですね
公差4のシグマの公式は使わなくてもよいですね。
3997が何番目かが大事です。
しかし何番目かをだすのは少し面倒。
やっぱり
これを使いましょう
An=一番目の数1+公差4×(n-1)=1+4n-4=4n-3
3997+3=4000 4000÷4＝1000
3997さんは
1000番目ですね。
最初は1、最後は3997 足したら3998
全部で1000組
もうできますね
台形の面積の公式で行けますよ。
3998を2で割ったら1999.
答えは1999000
あれ 1999？ｘ1000
こらなめてんのか？
こんなん 一秒でできる。
はじめから答えは出てるやん。
きっと手品だ。
192-182から始まれば答えは190
1992-1982から始まれば答えは19900
1999なら 1999000と問題の答え。
199992-199982からはじまれば答えは
19999ｘ10000になります。
この時だけですね、手品は。
20012-20002 から始まれば
答えは2003001です。2001000にはなりません
まあ2001ｘ1001＝2003001になってます。
手品は 19 199 1999 19999 199999の２乗から始まった時だけですね。
１からの奇数を足せばなぜ2乗数が出てくるか？
これは、正方形の色紙でも、タイルでも、並べればわかります。
正方形を作れるのは、必ず
一枚 ４枚 ９枚 １６枚 ２５枚 、、、ｎの２乗がいります。
一枚 のタイルに３を足すと４枚 これに５を足すと９枚
これに７枚足すと１６枚、
とだんだん正方形が大きくなります、
正方形の図を書いて 、だんだん増やしていけばわかります。
これも面白いです。
ここまでコメント欄から引用。
実は私は、括弧があれば括弧の中から計算しなければと思い、括弧を外せば良いのを思い付かなかった。勉強嫌いな私にはセンスが無いのがよく分かる。教えて頂いたタイヤイさんへ感謝。
タイヤイさんの解答を、小学生の娘でも分かり易いようにもう一度書いてみる。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
=19992-19982+19972-19962+19952-19942+...+72-62+52-42+32-22+1
=(19992-19982)+(19972-19962)+(19952-19942)+...+(72-62)+(52-42)+(32-22)+1
(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1なので
19992-19982=2×1998+1=3996+1=3997となる。
同様に計算して
=(19992-19982)+(19972-19962)+(19952-19942)+...+(72-62)+(52-42)+(32-22)+1
=3997+3993+3989+...+13+9+5+1となり、
初項1公差4最終項3997の等差数列 1 5 9 13 ..... 3989 3993 3997 の総和と等しい。
初項1公差4の等差数列の一般項Anを表す式は An=1+4×(n-1)=4n-3であり、
最終項は3997なので 4n-3=3997 4n=3997+3=4000 n=1000 最終項3997は1000番目と分かる。
等差数列Anの総和Sn=n(A1+An)/2=1000(1+3997)/2=1000×1999=1999000
＜答え＞1999000
次は私の怪答。怪しい解き方だが、一応書いておく。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
見たままで、計算の繰り返しと思ったので、
１回目の計算 22-12=4-1=3
２回目の計算 32-(22-12)=9-3=6
３回目の計算 42-(32-(22-12))=16-6=10
４回目の計算 52-(42-(32-(22-12)))=25-10=15
各回の計算で最初の数字はn+1なので、
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
は、1999=n+1よりn=1998 1998回目の計算となる。
各回の計算の結果を並べると、3 6 10 15...の数列で 3 4 5...の階差数列を持ち、その階差数列は初項3公差1の等差数列。
階差数列の一般項KiはKi=3+1(i-1)=i+2で表される。
n≧2の時、各回の計算結果を並べた数列の一般項Anは
n-1
Σ(i+2)+3=An （Σを使うので文字ズレを避けて逆から書きｗ）
i=1
An=n(n-1)/2+2(n-1)+3=(n2+3n+2)/2 で表される。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
は、1998回目の計算でありn=1998なので、その計算結果は
A1998=(n2+3n+2)/2=(3992004+5994+2)/2=3998000/2=1999000
＜答え＞1999000
最後の計算が面倒臭いし、スマートでもないが階差数列で解けた。
解き方はこの２つかなと思えば、タイヤイさんから面白いコメントを頂いた。
nの2乗 引く ｋの２乗
を因数分解すると
（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）
もし、ｎ-ｋ＝1 の時
隣り合う２乗数の 差は1
ｎ-ｋ＝1
隣り合う２乗数の 差＝ ｎ+ｋ
１９９９の２乗引く １９９８の２乗は
1999+1998
(n+1)2-n2=2n+1=(n+1)+nなので、
19992-19982=1999+1998ということだ。
と書いて解き始めていたが、ここへタイヤイさんから突っ込みを頂いた。
２乗数の差ですから、大きい数字が基本です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ） をまず理解します。これは因数分解の勉強です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）
ここでｎ－ｋ＝１と入れて
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）
すなわち
nの2乗 引く( n-1)の2乗＝ｎ+（ｎ-1）です
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）
隣り合う２乗数、、nの2乗 引く ｋの２乗＝ｎ+ｋ
隣り合う２乗数の 差は
元の数字の和に等しい。
これは便利だから、覚えましょう。
娘さん、憶えてくださいね。
応用として 隣り合わなくとも、２つ小さい数字のばあいは
ｎの２乗 引く ｎ-２ の２乗とか
ｎの２乗 引く ｎ-２ の２乗＝？
これは因数分解の勉強です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）＝
(n+ n-2)(n+ 2-n)= 2(n + n-2)
すなわち、、２乗数の 差は
差が２なら 答えは和の２倍
差が３なら和の３倍になります。
n2-k2=(n+k)(n-k)
例として数字を入れると
19992-19982=(1999+1998)(1999-1998)
n-k=1999-1998=1なので
n2-k2=n+k
19992-19982=1999+1998
n-k=2の時
n2-k2=2(n+k)
19992-19972=2×(1999+1997)
n-k=3の時
n2-k2=3(n+k)
19992-19962=3×(1999+1996)
という話だ。センスが無い私は、同じ事だと思って
(n+1)2-n2=2n+1=(n+1)+nと書いたが、
タイヤイさんのやり方は拡張性が有る。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
=19992-19982+19972-19962+19952-19942+...+72-62+52-42+32-22+1
=(19992-19982)+(19972-19962)+(19952-19942)+...+(72-62)+(52-42)+(32-22)+1
n-k=1の時
n2-k2=n+kなので
=1999+1998+1997+1996+1995+1994+...+7+6+5+4+3+2+1
=1999(1+1999)/2=1999×2000/2=1999×1000=1999000
お！これはすっきり！！！いいね！
娘へは３つの解き方を教えるが、どれが好みだろう？
算数の面白さを理解してくれると嬉しいのだが・・
タイの小学生向け算数ギフテッド問題の記事へのリンク→#中１入試ギフ
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1,9992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
の解答を書いてみる。
先ずはタイヤイさんからコメント欄へ頂いた解答。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
実際はこうでしょう
19992-19982+19972-19962+19952-19942+、、、、32-22+1
奇数の2乗から偶数の2乗を引いてます。
奇数の前は+で 偶数の前は-です。
だから 最後は32-22になります。
1は1です。無視します。
まとめると
1 5 9 13 17という４ずつ増える数列が出てきましたよ。偶然かな？
最後の数字は3997でしたね
1+5+9+13+17+,,,,,,,,,,+3997を出せばよいですね
公差4のシグマの公式は使わなくてもよいですね。
3997が何番目かが大事です。
しかし何番目かをだすのは少し面倒。
やっぱり
これを使いましょう
An=一番目の数1+公差4×(n-1)=1+4n-4=4n-3
3997+3=4000 4000÷4＝1000
3997さんは
1000番目ですね。
最初は1、最後は3997 足したら3998
全部で1000組
もうできますね
台形の面積の公式で行けますよ。
3998を2で割ったら1999.
答えは1999000
あれ 1999？ｘ1000
こらなめてんのか？
こんなん 一秒でできる。
はじめから答えは出てるやん。
きっと手品だ。
192-182から始まれば答えは190
1992-1982から始まれば答えは19900
1999なら 1999000と問題の答え。
199992-199982からはじまれば答えは
19999ｘ10000になります。
この時だけですね、手品は。
20012-20002 から始まれば
答えは2003001です。2001000にはなりません
まあ2001ｘ1001＝2003001になってます。
手品は 19 199 1999 19999 199999の２乗から始まった時だけですね。
１からの奇数を足せばなぜ2乗数が出てくるか？
これは、正方形の色紙でも、タイルでも、並べればわかります。
正方形を作れるのは、必ず
一枚 ４枚 ９枚 １６枚 ２５枚 、、、ｎの２乗がいります。
一枚 のタイルに３を足すと４枚 これに５を足すと９枚
これに７枚足すと１６枚、
とだんだん正方形が大きくなります、
正方形の図を書いて 、だんだん増やしていけばわかります。
これも面白いです。
ここまでコメント欄から引用。
実は私は、括弧があれば括弧の中から計算しなければと思い、括弧を外せば良いのを思い付かなかった。勉強嫌いな私にはセンスが無いのがよく分かる。教えて頂いたタイヤイさんへ感謝。
タイヤイさんの解答を、小学生の娘でも分かり易いようにもう一度書いてみる。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
=19992-19982+19972-19962+19952-19942+...+72-62+52-42+32-22+1
=(19992-19982)+(19972-19962)+(19952-19942)+...+(72-62)+(52-42)+(32-22)+1
(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1なので
19992-19982=2×1998+1=3996+1=3997となる。
同様に計算して
=(19992-19982)+(19972-19962)+(19952-19942)+...+(72-62)+(52-42)+(32-22)+1
=3997+3993+3989+...+13+9+5+1となり、
初項1公差4最終項3997の等差数列 1 5 9 13 ..... 3989 3993 3997 の総和と等しい。
初項1公差4の等差数列の一般項Anを表す式は An=1+4×(n-1)=4n-3であり、
最終項は3997なので 4n-3=3997 4n=3997+3=4000 n=1000 最終項3997は1000番目と分かる。
等差数列Anの総和Sn=n(A1+An)/2=1000(1+3997)/2=1000×1999=1999000
＜答え＞1999000
次は私の怪答。怪しい解き方だが、一応書いておく。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
見たままで、計算の繰り返しと思ったので、
１回目の計算 22-12=4-1=3
２回目の計算 32-(22-12)=9-3=6
３回目の計算 42-(32-(22-12))=16-6=10
４回目の計算 52-(42-(32-(22-12)))=25-10=15
各回の計算で最初の数字はn+1なので、
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
は、1999=n+1よりn=1998 1998回目の計算となる。
各回の計算の結果を並べると、3 6 10 15...の数列で 3 4 5...の階差数列を持ち、その階差数列は初項3公差1の等差数列。
階差数列の一般項KiはKi=3+1(i-1)=i+2で表される。
n≧2の時、各回の計算結果を並べた数列の一般項Anは
n-1
Σ(i+2)+3=An （Σを使うので文字ズレを避けて逆から書きｗ）
i=1
An=n(n-1)/2+2(n-1)+3=(n2+3n+2)/2 で表される。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
は、1998回目の計算でありn=1998なので、その計算結果は
A1998=(n2+3n+2)/2=(3992004+5994+2)/2=3998000/2=1999000
＜答え＞1999000
最後の計算が面倒臭いし、スマートでもないが階差数列で解けた。
解き方はこの２つかなと思えば、タイヤイさんから面白いコメントを頂いた。
nの2乗 引く ｋの２乗
を因数分解すると
（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）
もし、ｎ-ｋ＝1 の時
隣り合う２乗数の 差は1
ｎ-ｋ＝1
隣り合う２乗数の 差＝ ｎ+ｋ
１９９９の２乗引く １９９８の２乗は
1999+1998
(n+1)2-n2=2n+1=(n+1)+nなので、
19992-19982=1999+1998ということだ。
と書いて解き始めていたが、ここへタイヤイさんから突っ込みを頂いた。
２乗数の差ですから、大きい数字が基本です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ） をまず理解します。これは因数分解の勉強です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）
ここでｎ－ｋ＝１と入れて
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）
すなわち
nの2乗 引く( n-1)の2乗＝ｎ+（ｎ-1）です
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）
隣り合う２乗数、、nの2乗 引く ｋの２乗＝ｎ+ｋ
隣り合う２乗数の 差は
元の数字の和に等しい。
これは便利だから、覚えましょう。
娘さん、憶えてくださいね。
応用として 隣り合わなくとも、２つ小さい数字のばあいは
ｎの２乗 引く ｎ-２ の２乗とか
ｎの２乗 引く ｎ-２ の２乗＝？
これは因数分解の勉強です。
nの2乗 引く ｋの２乗＝（ｎ+ｋ）（ｎ-ｋ）＝
(n+ n-2)(n+ 2-n)= 2(n + n-2)
すなわち、、２乗数の 差は
差が２なら 答えは和の２倍
差が３なら和の３倍になります。
n2-k2=(n+k)(n-k)
例として数字を入れると
19992-19982=(1999+1998)(1999-1998)
n-k=1999-1998=1なので
n2-k2=n+k
19992-19982=1999+1998
n-k=2の時
n2-k2=2(n+k)
19992-19972=2×(1999+1997)
n-k=3の時
n2-k2=3(n+k)
19992-19962=3×(1999+1996)
という話だ。センスが無い私は、同じ事だと思って
(n+1)2-n2=2n+1=(n+1)+nと書いたが、
タイヤイさんのやり方は拡張性が有る。
19992-(19982-(19972-(19962-...-(22-12)...)))
=19992-19982+19972-19962+19952-19942+...+72-62+52-42+32-22+1
=(19992-19982)+(19972-19962)+(19952-19942)+...+(72-62)+(52-42)+(32-22)+1
n-k=1の時
n2-k2=n+kなので
=1999+1998+1997+1996+1995+1994+...+7+6+5+4+3+2+1
=1999(1+1999)/2=1999×2000/2=1999×1000=1999000
お！これはすっきり！！！いいね！
娘へは３つの解き方を教えるが、どれが好みだろう？
算数の面白さを理解してくれると嬉しいのだが・・
タイの小学生向け算数ギフテッド問題の記事へのリンク→#中１入試ギフ
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