引き続きポントリャーギン「常微分方程式とその応用」から引用・・・

。。。
「主は、あなたを守る方、主は、あなたの右の手を覆う陰。
昼も、日があなたを打つことがなく、
夜も、月があなたを打つことはない。
主は、すべての災いから、あなたを守り、あなたの命を守られる。
主は、あなたを、行くにも帰るにも、今よりとこしえまでも守られる。」
（詩篇１２１：５～８）
カトリックの祈りで祈ります。
東日本大震災の被害に対して、主のとりなしを祈ります。
１． 菅首相をはじめ各大臣、日本のリーダーたちや関係者が適切な判断
ができますよう、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
２． 原発事故被害が拡大しないように。現場で働く消防隊員・自衛隊員・
作業員が守られますよう、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
３． 救出を待っている人がいたら直ちに救出され、避難場所での生活と
健康が守られますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
４． 支援物資やガソリンなどに資源が、必要とされている場所に届けられ
ますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
５． ケガをした人、病気の人、薬や医療を必要としている人に適切な治療
が受けられますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
６． 東日本大震災で大切な人を失った人に慰めが与えられますように、
　　主の愛と慈しみと恵みを注いでください。。
７． 震災支援活動に貢献できないで無力感に陥っている人に励ましが与え
られますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
。。。
今日は、３／２８（月）。四旬節第３月曜。
今日の福音朗読は、ルカ４．２４－３０．
「サレプタのやもめ、シリアのナアマン。いずれも異教徒であった。
私たちも異教徒から神の民とされた。それは私たちの力によるものではない。
神の賜物。
だから気をつけよう。驕り高ぶり、気を緩めることのないように。」
入祭唱より。
「わたしの魂は主の庭を慕い、心もからだも神を求めて叫ぶ。」
。。。
主よ、わたしが過ごすこの時間をあなたにお捧げ申します。
この記事が、あなたの御旨に適ったものとなりますように。
皆が主の許に一つに集まる上で少しでもお役に立つことができますように。
。。。
今回は、
前々回のアーノルドに続き、ポントリャーギン。
「ポントリャーギン数学入門双書４　常微分方程式とその応用」
（宮本敏雄氏訳；森北出版）
。。。
「まえがき」
ｐ．～
「私の著書「常微分方程式」（第５版、１９８２）を大幅に圧縮再編したもの。」
邦訳は、共立からでていて「常微分方程式」（千葉克祐氏訳）。
第３章 定係数の線形微分方程式
１０．安定な多項式
ｐ．５７～
　　Ｌ（ｐ）ｚ＝０　　　　　・・・（１）
を、定数係数の線形斉次方程式とする。
この方程式が、ｔ－＞＋∞のとき、どのようなふるまいをするかという問題は、
常微分方程式論の応用全般にかかわる非常に重要な問題である。
［Ａ］方程式Ｌ（ｐ）が安定であるというのは、そのすべての根の実部が負である
　　こと。あるいは、幾何学的に言えば、そのすべての根が複素平面の虚軸の
　　左側にあることをいう。
　多項式Ｌ（ｐ）のすべての根を、λｊ＝μｊ＋λνｊ　ｊ＝１，・・・、ｍ
　－＞∀φ（ｔ）　∃Ｍ＞０　ｓ．ｔ．
　　　　｜φ（ｔ）｜＜Ｍｅ＾（－αｔ）　（ｔ≧０）
［Ｂ］これが切っ掛けの入試問題。
［Ｃ］一般化。
　実係数の多項式　Ｌ（ｐ）＝ｐ＾ｎ＋ａ１ｐ＾（ｎ－１）＋・・・＋ａｎ
が安定
　　　－＞その係数はすべて正。
。。。
詳細は次回。
続いて、「ミサ曲」。
写真なし。
アップしてなかった。
。。。
「愛への道」も略。
。。。

政治の話です！

。。。
「主は、あなたを守る方、主は、あなたの右の手を覆う陰。
昼も、日があなたを打つことがなく、
夜も、月があなたを打つことはない。
主は、すべての災いから、あなたを守り、あなたの命を守られる。
主は、あなたを、行くにも帰るにも、今よりとこしえまでも守られる。」
（詩篇１２１：５～８）
カトリックの祈りで祈ります。
東日本大震災の被害に対して、主のとりなしを祈ります。
１． 菅首相をはじめ各大臣、日本のリーダーたちや関係者が適切な判断
ができますよう、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
２． 原発事故被害が拡大しないように。現場で働く消防隊員・自衛隊員・
作業員が守られますよう、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
３． 救出を待っている人がいたら直ちに救出され、避難場所での生活と
健康が守られますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
４． 支援物資やガソリンなどに資源が、必要とされている場所に届けられ
ますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
５． ケガをした人、病気の人、薬や医療を必要としている人に適切な治療
が受けられますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
６． 東日本大震災で大切な人を失った人に慰めが与えられますように、
　　主の愛と慈しみと恵みを注いでください。。
７． 震災支援活動に貢献できないで無力感に陥っている人に励ましが与え
られますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
。。。
再び。
今日は、３／２８（月）。四旬節第３月曜。
今日の福音朗読は、ルカ４．２４－３０．
「サレプタのやもめ、シリアのナアマン。いずれも異教徒であった。
私たちも異教徒から神の民とされた。それは私たちの力によるものではない。
神の賜物。
だから気をつけよう。驕り高ぶり、気を緩めることのないように。」
入祭唱より。
「わたしの魂は主の庭を慕い、心もからだも神を求めて叫ぶ。」
。。。
主よ、わたしが過ごすこの時間をあなたにお捧げ申します。
この記事が、あなたの御旨に適ったものとなりますように。
皆が主の許に一つに集まる上で少しでもお役に立つことができますように。
。。。
少し転じて政治。
今、「小泉官邸秘録」
（飯島勲氏著；日本経済新聞社）
を読んでいる。
。。。
第２章　「官邸主導」の始動
政府・与党社会保障改革協議会
ｐ．８５～
「後で聞いていても背筋がぴんと伸びるような激しい口調だった。
　十一月。総理は今度は党側の責任者を呼んだ。政府与党協議会の下
　に置かれ、合意案の実質的な取りまとめを行うワーキングチームの座長、
　宮下創平元厚生大臣だった。宮下元大臣は厚生労働関係議員の長老格、
　私と同じ長野県、それも同じ伊那谷の出身である。理知的で温厚な性格
　は調整の難しいこの問題の取りまとめ役としては適任であったが、総理
　の強い意向と党内の激しい反対論・抵抗の間で本当に苦労されていた。」
。。。
飯島先生は辰野ご出身。宮下先生は伊那のご出身。
昨日、伝馬町から駒ヶ根、駒ヶ根から松尾。
後、松川は？
写真は、松尾。
。。。
「愛への道」から。
「４４　悪魔は、人が啓示を受けることを望んだり、その方に心が傾いている
　のをみると非常に喜ぶ。そのようなときにこそ、錯覚をしのびこませたり、
　信仰を骨抜きにするよい折りと手がかりをつかむことができるからである。」
。。。
引き続き、「ミサ曲」。
。。。

「常微分方程式」（Ｖ．Ｉ．アーノルド）から引用・・・

。。。
「主は、あなたを守る方、主は、あなたの右の手を覆う陰。
昼も、日があなたを打つことがなく、
夜も、月があなたを打つことはない。
主は、すべての災いから、あなたを守り、あなたの命を守られる。
主は、あなたを、行くにも帰るにも、今よりとこしえまでも守られる。」
（詩篇１２１：５～８）
カトリックの祈りで祈ります。
東日本大震災の被害に対して、主のとりなしを祈ります。
１． 菅首相をはじめ各大臣、日本のリーダーたちや関係者が適切な判断
ができますよう、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
２． 原発事故被害が拡大しないように、現場で働く消防隊員・自衛隊員・
作業員が守られますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
３． 救出を待っている人がいたら直ちに救出され、避難場所での生活と
健康が守られますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
４． 支援物資やガソリンなどに資源が、必要とされている場所に届けられ
ますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
５． ケガをした人、病気の人、薬や医療を必要としている人に適切な治療
が受けられますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
６． 東日本大震災で大切な人を失った人に慰めが与えられますように、
主の愛と慈しみと恵みを注いでください。。
７． 震災支援活動に貢献できないで無力感に陥っている人に励ましが与え
られますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
。。。
今日は、３／２８（月）。四旬節第３月曜。
今日の福音朗読は、ルカ４．２４－３０．
「サレプタのやもめ、シリアのナアマン。いずれも異教徒であった。
私たちも異教徒から神の民とされた。それは私たちの力によるものではない。
神の賜物。
だから気をつけよう。驕り高ぶり、気を緩めることのないように。」
入祭唱より。
「わたしの魂は主の庭を慕い、心もからだも神を求めて叫ぶ。」
。。。
主よ、わたしが過ごすこの時間をあなたにお捧げ申します。
この記事が、あなたの御旨に適ったものとなりますように。
皆が主の許に一つに集まる上で少しでもお役に立つことができますように。
。。。
今回は、
前回の二次方程式の２つの解の実部正に関して、
の続き。
微分方程式に話は飛ぶ。
。。。
「常微分方程式」
（Ｖ．Ｉ．アーノルド著；足立正久氏訳；現代数学社）
より。
前半部分。
第３章．線形系
から抜粋・引用。
。。。
§１９．複素相空間をもつ線形空間
ｐ．１１４～
４．例：複素直線を相空間とする線形方程式
方程式、
　ｄｚ／ｄｔ＝λｚ　ｚ∈Ｃ　λ∈Ｃ　ｔ∈Ｒ
の解、
　φ（ｔ）＝ｅ（λｔ）ｚ０
複素関数、
　ｅ＾（λｔ）：Ｒ－＞Ｃ
λ：実数－＞ｅ＾（λｔ）：実数
　　虚数－＞　　　　　　＝ｅ＾（ｉωｔ）＝ｃｏｓωｔ＋ｉｓｉｎωｔ
　　一般－＞ｅ＾（λｔ）＝ｅ＾（α＋ｉω）ｔ＝ｅ＾（αｔ）ｅ＾（ｉωｔ）
：ｅ＾（αｔ）倍の拡大、角度ωｔの回転
相曲線について、
）α＜０、ω＞０：相点ｅ＾（λｔ）ｚ０－＞０、反時計周りに回転
）　　　　　＜　：同様な安定渦状
）　＞　　　＞　：不安定渦状
）　　　　　＜　：　　“
）α＝０、ω≠０：同心円、中心点は特異点。つまり、渦心点。
。。。
§２０．実線形方程式の複素化
ｐ．１２２～
４．平面上の特異点の分類
線形方程式、
　ｘ＾（・）＝Ａｘ　ｘ∈Ｒ＾２　Ａ：Ｒ＾２－＞Ｒ＾２
固有方程式の根、λ１、λ２は相異なるとする。
１）２実根で、λ１＜λ２
）λ１≦λ２＜０：安定結節点。
）λ１＜０＜λ２：鞍点。
）０＜λ１＜λ２：不安定結節点
２）根が複素数、
　λ１＝α＋ｉω
　λ２＝α－ｉω
）α＜０：安定渦状点。
）α＝０：渦心点。
）α＞０：不安定渦状点。
。。。
§２２．特異点の位相的分類
ｐ．１３４～
２．ｍ－＝０の場合への還元
補題３．Ａ：Ｒ＾ｎ－＞Ｒ＾ｎ：線形作用素　ｓ．ｔ．
　　　　　　　　　　　　　　　固有値の実部はすべて正
－＞系　ｘ＾（・）＝Ａｘ　ｘ∈Ｒ＾ｎ
　　は、標準形
　　　　ｘ＾（・）＝ｘ　　ｘ∈Ｒ＾ｎ
　　に位相同値
。。。
§２３．平衡点の安定性
ｐ．１４５～
３．一次近似による安定性定理
方程式、
　ｘ＾（・）＝ｖ（ｘ）　ｘ∈Ｕ⊂Ｒ＾ｎ　　　・・・（１）
　ｖ：Ｕ上ｒ回（ｒ＞２）連続的微分可能なベクトル場　ｓ，ｔ，
（１） は、平衡点を持つ。その平衡点が原点と一致するよう
に座標系をとる。
と共に、
線形方程式、
　ｘ＾（・）＝Ａｘ　ｘ∈Ｒ＾ｎ　Ａ：Ｒ＾ｎ－＞Ｒ＾ｎ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（２）
を考える。
このとき、　
ｖ（ｘ）＝ｖ１＋ｖ２
ｖ１（ｘ）＝Ａｘ、ｖ２（ｘ）＝ｏ（｜ｘ｜）＾２
定理　作用素Ａの固有値は、すべて左半平面：Ｒｅλ＜０にある
　　　－＞方程式の（１）の平衡点は漸近安定
。。。
ｐ．２５３～
「訳者あとがき」から。
「常微分方程式の解の存在と一意性を解説するとともに、ユークリッド
空間における常微分方程式の定性的理論を豊富な実例と図をまじえながら
詳しく考察している。そしてさらに多様体の上の力学系の理論へも話を進
めている。」
。。。
ｐ．２５１～
「試験問題例」
高校の教材になりそうなもので、掲載に楽なもの幾つか。
２．一定のトルクが作用している振子の運動
　ｘ＾（・）＝１＋２ｓｉｎｘ
を考える。円筒面の相空間での相曲線を描け。いろいろな相曲線には振子の
どのような運動が対応するか？
３．Ａを２次の与えらえられた行列とする。行列ｅ＾（Ａｔ）を計算せよ。
５．数列１，１、６、１２、２９，５９
　（ｘｎ＝ｘ（ｎ－１）＋２ｘ（ｎ－２）＋ｎ　ｘ１＝ｘ２＝１）
の第１００項目の桁数を求めよ。
７．３つの関数、ｓｉｎαｔ、ｓｉｎβｔ、ｓｉｎγｔ　が線形従属になるよ
うなすべてのα、β、γを求めよ。
１３．反射の式、
　ｓｉｎα１／ｓｉｎα２＝ｎ２／ｎ１
に、
ｎ＝ｎ（ｙ）としたときの光線の形？
ｎ（ｙ）＝１／ｙ　の場合は？
。。。
代数方程式と微分方程式とどう関連するのか？
回路系・制御系・力学系・モータなど応用は？
非線形では？
などは追って。
。。。
写真は、下山駅／飯田線。
先月。
。。。
バッハの「ミサ曲ロ単調　ＢＷＶ２３２」
Ｈ．シェルヘン指揮、ウイーン交響楽、ウイーンアカデミー。
地方にいると、ＣＤが自由に選べる環境でない。
他の演奏を知らないが、
この演奏と「マタイ受難曲」
（Ｗ．メンゲルベルグ、コンセルへボウ）
がわたしのベスト。
音楽を語るなら、先ず「最低これを聞いてますか？」
その確認から始めるべき、と。
専門家の方からは、
「もう９８枚は、これとこれ・・・。えっ、聞いてないの？」
と言われそうですが・・・
。。。
「愛への道」から。
「４３　われわれは、地上的なものから全く離脱していなくては
ならないだけでなく、さらには精神的な部分に属することがらも、
ことごとく手放し、無視して歩まなくてはならない。」
。。。