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「主は、あなたを守る方、主は、あなたの右の手を覆う陰。
昼も、日があなたを打つことがなく、
夜も、月があなたを打つことはない。
主は、すべての災いから、あなたを守り、あなたの命を守られる。
主は、あなたを、行くにも帰るにも、今よりとこしえまでも守られる。」
（詩篇１２１：５～８）
カトリックの祈りで祈ります。
東日本大震災の被害に対して、主のとりなしを祈ります。
１． 菅首相をはじめ各大臣、日本のリーダーたちや関係者が適切な判断
ができますよう、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
２． 原発事故被害が拡大しないように。現場で働く消防隊員・自衛隊員・
作業員が守られますよう、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
３． 救出を待っている人がいたら直ちに救出され、避難場所での生活と
健康が守られますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
４． 支援物資やガソリンなどに資源が、必要とされている場所に届けられ
ますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
５． ケガをした人、病気の人、薬や医療を必要としている人に適切な治療
が受けられますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
６． 東日本大震災で大切な人を失った人に慰めが与えられますように、
主の愛と慈しみと恵みを注いでください。。
７． 震災支援活動に貢献できないで無力感に陥っている人に励ましが与え
られますように、主の愛と慈しみと恵みを注いでください。
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今日は、３／３０（水）。四旬節第３水曜。
今日の福音朗読は、ルカ５．１７－１９．
「私たちは神の掟を守る。しかし、それはファリサイ派の人々のように遵守する
のではない。死に至るまで、しかも十字架の死に至るまで従う者となられた主
イエス・キリストに倣って、私たちも御父の御心を果たすのである。」
「それを守り、そうするように教える者は、天の国で大いなる者と呼ばれる。」
入祭唱より。
「神よ、おことばの通りわたしの歩みを支え、悪の支配を退けてください。」
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主よ、わたしが過ごすこの時間をあなたにお捧げ申します。
この記事が、あなたの御旨に適ったものとなりますように。
皆が主の許に一つに集まる上で少しでもお役に立つことができますように。
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今回は、
再びアーノルド。
「常微分方程式」
（足立正久氏著；現代数学社）
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§２４．純虚数の固有値の場合
ｐ．１４８～
「２．例
Ｒ＾４において次の方程式を考える：
ｘ１＾（・）＝ω１・ｘ２ λ１＝ｉω１、λ２＝－ｉω１
ｘ２＾（・）＝－ω１・ｘ１
ｘ３＾（・）＝ω２・ｘ４ λ３＝ｉω２、λ４＝－ｉω２
ｘ４＾（・）＝－ω２・ｘ３
空間Ｒ＾４は２つの不変平面の直和に分解される：
Ｒ＾４＝Ｒ１２＋Ｒ３４．
これに対応して、上の系は２つの独立な系に分解する：
ｘ１＾（・）＝ω１・ｘ２
ｘ２＾（・）＝－ω１・ｘ１ （ｘ１，ｘ２）∈Ｒ１２
ｘ３＾（・）＝ω２・ｘ４
ｘ４＾（・）＝－ω２・ｘ３ （ｘ１，ｘ２）∈Ｒ１２
これらの平面の各々において、相曲線は円周
Ｓ＾１＝｛ｘ∈Ｒ１２：ｘ１＾２＋ｘ２＾２＝Ｃ＞０｝
かあるいは点（Ｃ＝０）となる。
そして、相流は回転（角度ω１ｔあるいはω２ｔ）からなる。
上の各相曲線は平面Ｒ１２とＲ３４の上の相曲線の直積に属する。
この両方の相曲線は円周である。２つの円周の直積：
Ｔ＾２＝Ｓ＾１×Ｓ＾１
＝ Ｓ＾１＝｛ｘ∈Ｒ＾４：ｘ１＾２＋ｘ２＾２＝Ｃ，ｘ１＾２＋ｘ２＾２＝Ｄ｝
は２次元トーラスと呼ばれる。」
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ｐ．１５０～
「３．トーラスの上の方程式、φ１＾（・）＝ω１、φ２＾（・）＝ω２・・・（２）
の相曲線
定理 ω１とω２が有理独立でないならば、方程式（２）のトーラス上の
各相曲線は閉曲線である。もし、φ１とφ２が有理独立ならば、（２）の
トラスＴ＾２の上の各相曲線は至ることろ稠密である。
系として、
１．｛２＾ｎ：ｎ＝０，１，２・・・｝の１０進表示での最初の数字の列が与えられている：
１，２，４，８，１，３，６，１，２，５，１，２，４，８、・・・・
この列の中で７は現れるか？２＾ｎの最初の数字を表わす一般的公式はあるか？
・・・」
同様をｍ個について示し、トーラスＴ＾ｍの上の線形方程式 ｘ＾（・）＝Ａｘ の相曲線
は、至ることろ稠密。
系 とうもろこしが四角な配置（ｍ，ｎ）（ｍ，ｎ＝０，１，２・・・）で植えられている畑で
馬が（√２、√３）だけ跳ぶとする。このとき、馬は必ず１本は踏み倒す。」
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記号 ｐ＝ｄ／ｄｔ を導入。
ｐ（ｘ１）＝ω１・ｘ２
ｐ（ｘ２）＝－ω１・ｘ１
ｐ（ｘ３）＝ω２・ｘ４
ｐ（ｘ４）＝－ω２・ｘ３
行列では、
（ｐ －ω１ （ｘ１ ＝（０
ω１ ｐ） ｘ２） ０）
（ｐ －ω２ （ｘ３ ＝（０
ω２ ｐ） ｘ４） ０）
（０、０）以外の解なら、
ｄｅｔ＝ｐ＾２＋ω１＾２＝０、ｄｅｔ＝ｐ＾２＋ω２＾２＝０
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「常微分方程式とその応用」
（ポントリャーギン著；森北出版）
から。演算子法。
「ｐ．４２～
（ｄ＾ｋ／ｄｔ＾ｋ）ｚ＝ｐ＾ｋｚ
Ｌ（ｐ）＝ａ０ｐ＾ｎ＋ａ１ｐ＾（ｎ－１）＋・・・＋ａｎ
について、
［Ａ］
Ｌ（ｐ）（ｚ１＋ｚ２）＝Ｌ（ｐ）ｚ１＋Ｌ（ｐ）ｚ２
（Ｌ（ｐ）＋Ｍ（ｐ））ｚ＝Ｌ（ｐ）ｚ＋Ｍ（ｐ）ｚ
Ｌ（ｐ）（Ｍ（ｐ）ｚ）＝（Ｌ（ｐ）Ｍ（ｐ））ｚ
［Ｂ］
Ｌ（ｐ）ｅ＾（λｔ）＝Ｌ（λ）ｅ＾（λｔ）
定理５．
方程式 Ｌ（ｐ）ｚ＝０ ・・・（１） の特性方程式Ｌ（ｐ）＝０が重根を持たないとする。
その根を λ１、λ２、・・・、λｎ とする。
このとき、ｚ１＝ｅ＾（λ１ｔ），・・・、ｚｎ＝ｅ＾（λｎｔ） と置けば、任意の複素定数
ｃ１，・・・、ｃｎ について、関数 ｚ＝ｃ１・ｚ１＋・・・＋ｃｎ・ｚｎ は方程式（１）の解
である。
［Ｄ］
多項式Ｌ（ｐ）の係数が実数であるとする。多項式Ｌ（ｐ）に複素根λが存在するならば、
それに共役な今λ＾（－）も存在する。解ｅ＾（λｔ），ｅ＾（λ＾（－）ｔ） は互いに共役。
例１．
ｚ＾（３）－３ｚ＾（・・）＋９ｚ＾（・）＋１３ｚ＝０
Ｌ（ｐ）＝ｐ＾３－３ｐ＾２＋９ｐ＋１３
＝（ｐ＋１）（ｐ＾２－４ｐ＋１３）
解は、２＋３ｉ、２－３ｉ、－１
ｚ＝ｃ１・ｅ＾（２＋３ｉ）ｔ＋ｃ２・ｅ＾（２－３ｉ）ｔ＋ｃ３・ｅ＾（－ｔ） 」
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方程式は重根を持つ場合も、
［Ａ］
Ｌ（ｐ）（ｅ＾（λｔ）ｆ（ｔ））＝ｅ＾（λｔ）Ｌ（ｐ＋λ）ｆ（ｔ）
定理６．
方程式 Ｌ（ｐ）ｚ＝０ ・・・（１） の特性方程式Ｌ（ｐ）＝０が、その根を、
ｋ１、ｋ２，・・・、ｋｎ を重複度とする λ１、λ２、・・・、λｎ とする。
このとき、
ｚ１＝ｅ＾（λ１ｔ），・・・、ｚｋ１＝ｔ＾（ｋ１－１）ｅ＾（λ１ｔ）
・・・
ｚ（ｋ１＋・・・＋ｋ（ｍ－１）＋１）＝ｅ＾（λｍｔ），・・・
、ｚｎ＝ｔ＾（ｋｍ－１）ｅ＾（λｍｔ）
と置けば、任意の複素定数
ｃ１，・・・、ｃｎ について、関数 ｚ＝ｃｋ・ｚｋ は方程式（１）の解
など。
例１．
ｚ＾（５）＋３ｚ＾（４）＋３ｚ＾（３）＋ｚ＾（・・）＝０
Ｌ（ｐ）＝ｐ＾５＋３ｐ＾４＋３ｐ＾３＋ｐ＾２
＝ｐ＾２（ｐ＋１）＾２
より解は、
ｚ＝（ｃ１＋ｃ２ｔ）＋（ｃ３＋ｃ４ｔ＋ｃ５ｔ＾２）ｅ＾（－ｔ） 」
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「愛への道」から。
「４５ 知性が神について一層高い知解をもつようになる観想を、人々は神秘神学と呼
ぶ。それは、神についての秘められた英知という意味である。」
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今日の記事は昨日分。
写真は飯田。
バッハ「ミサ曲」。
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