第４章 上級ステップ（１）

（４）上級ステップ
　①「XY-wing」 の成立を調べる
　中級ステップまでは（１）マスに数を入れる　（２）候補数を消去する手筋、を考察し、一部例外（「２国同盟」）を除いて、ある候補数についての消去を考えました。更に複数の候補数を考える事とし、一つのユニット内を考察（「同盟」関係）しました。ここからは「幾つかのユニットに跨り、複数の候補数」について考えます。
　その手筋は沢山あります。問題解決に登場する事の多そうな「手筋」から順に紹介します。まず「XY-wing」です。「X-wing」が候補数一つについての「手筋」でしたから、複数のユニットの間で成立する「XY-wing」は「X-wing」とはまるで内容が違います。図１を見てください。


　　　　　　　　　　　図１
 「XY-wing」の一般的定義では無く、図１に即して”準定義”的な説明をします。マスｂ２に注目です。ここには候補数は２個｛x,y｝のみが入る事を図の様に表し、ｂ２＝｛xy}と表現します。その｛xy｝のマスと同一のユニット（ｂ行）の中のマスがｂ６＝｛xz｝で、かつ｛xy｝のマスと同一のユニット（２列）の中のマスをｄ２＝｛yz｝とします。この時ｂ６＝｛xz｝とｄ２＝｛yz｝の両方と同一ユニットを形成するマスが存在すれば（図では水色印のマスｄ６）、そのマスに候補数ｚは存在しない、言い方を変えれば、そのマスからｚを消去出来る、これが「XY-wing」の内容です。
　少し記号に拘れば、この事実を『zx-xy-yz』と表現し、真ん中の「xy」（のマス）を「核」と呼ぶ事があります。
　又マスｄ６の事を「ｂ６、ｄ２の両方のマスを見ることの出来る」マスと呼ぶ事もあります。何故この「手筋」が成立するか。説明は図２をご覧下さい。


　　　　　　　　　　　図２
　図２で仮にｄ６＝ｚ　と数が確定すれば、連鎖的にｂ６＝x、ｄ２＝y と決まり、ｂ２に入る数がなくなってしまいます。
　この「XY-wing」は次のような場面でもその成立条件を満たしていますから、結論として幾つかのマスからzを消去出来るわけですが、図３を見て、消去出来るマスを過不足なく指摘できますか。


　　　　　　　　　　　図２
　正解は図３を見てください。

　　　　　　　　　　図３
　　{xy}を核として『zx-xy-yz』の「XY-wing」が成立しますから、{xz}と{ｙｚ｝を見ることの出来る、図３の水色印のマスから、zを消去する事が出来ます。
　さて図４で、「XY-wing」が成立するか否かを調べる局面に立ち至ったとします。どう「XY-wing」は成立しているのでしょうか？
　解答を読む前にお考え頂いても結構ですし、読んだ後例題に挑戦して頂くのでも良いかと思います。（例題は次回のブログで）

　　　　　　　　　　　　　図４
　「XY-wing」攻略の戦略について書きます。
　「XY-wing」は発見が難しいと、”大海原で真珠を探す”事に譬えられますが、そんなことはありません。比較的簡単です。何故なら、候補数が２個のマスについてのみ考えれば良いからで、かなり限定して考察すれば良いからです。図４と図５の両方を見ながら、お読み下さい。

　　　　　　　　　　　　　図５
　マーちゃんは、ペア数の一覧を作ります。例えば｛3,2｝なるペア数は２３と認識し、ペア数を小さい順に並べます（図５左）
例えば１９（３）はペア数１９は３回登場するという意味で、この重要性は後述します。
　ペア数を小さい順に並べた後、１２と１３から出来るペア数２３がこの一覧の中に登場するか眺めます。ありません。
　　１２と１５のペア数から出来るペア数２５は一覧の中にありますから（１２　１５　２５）が「XY-wing」を形成する可能性ありとして図５の右の図に書き置きます。
　丁寧に、全ての場合について調べ尽くし、この組合せを作っていったところ、図の右のような組合せで「XY-wing」の可能である事が判明しました。
　次に、解いている問題用紙を用い、該当するマスの上にオセロ石を置き「XY-wing」の条件を満足しているか調べます。これらを調べるときに例えば１９のマスにオセロ石を置くときに、１９（３）ですから、１９の置き場所３通り全てを調べなければなりません。１９（３）はこの点の注意マークの意味もありました。
　さて、(１２　１５　２５）　（１２　１７　２７）　（１３　１７　３７）
（１３　１９　３９）の全てで「XY-wing」の成立する条件の配置は見出せません。「XY-wing」不成立ですが、最後に（２４　２５　４５）で「XY-wing」が成立している事に気が付き、ホッとします。図６を見てください。


　　　　　　　　　　　　図６
　『ａ１－ｃ２－ｇ２』で「XY-wing」の条件を満たしています。それらのマスで『５４－４２－２５』が「XY-wing」。よってａ１とｇ２を見る事の出来るマスｇ１（水色印マス）から５を消去出来ます。
　ｇ１＝｛３７｝となった結果、ｇ１＝ｈ２＝｛３７｝で「自明の２国関係」が成立しますから、ｈ３から７が消去でき、ｈ３＝２が確定し、後は、問題が堰を切ったように解決に向かいます。
　　　　　　　　　　　　　

　

第３章 中級ステップ（９）

（２）「候補数を消去する」手筋
　⑨「オセロ石」を用いる
　さて図１はｆ行で「自明の４国同盟」と「隠れた４国同盟」が成立する事を示すものです。ｉ行の考察に入る前に、ここで又「オセロ石」を用いて、視覚的に「４国同盟」を見抜く方法を紹介します。



　　　　　　　　　　　　　図１
　用意するものは図２の様な用紙で、各マスにはオセロ石を置ける程度の大きさのものを用意してください。
　図１のｆ行で、マスｆ１の候補数は｛４、５、７｝です。この事実に対応し、図２の１行（ａ行）の様に４、５、７列に石を置きます。（本当は黒面が上に来るのですが、この図では赤印をつけています）
　以下、ｆ２には候補数の｛３，４，５｝が存在する事柄に対しては、２行（ｂ行）の３列、４列、５列に石を置きます。ｆ３に候補数はありませんから３行（ｃ行）には石は置きません。以下ｆ９に対応して９行（ｉ行）の様に石を置き図２が完成します。この図を見ながら視覚的に考えようという訳ですが、若干省略が可能です。「自明の４国同盟」に登場するマスの候補数は４個以下です。候補数が５個以上のマスを考察する必要はありません。そこで候補数が５個以上のマスに相当する図２の行、ｄ行とｆ行とｉ行から石を取り除いた図３で考えます。


　　　　　　　　　　　　図２
　下の図３で上手く４行を選び、その４行に登場する数が４個！となる様な４行が存在するかを考えるわけです。それは、実は「Jerry  Fish」を探す事と同じではありませんか。比較的簡単に、ａ行（実はｆ１マス）、ｂ行（実はｆ２マス）、ｅ行（ｆ５マス）、ｈ行（実はｆ８マス）が「Jerry  Fish」を構成す事が読み取れると思います。
　「自明の４国同盟」は｛ｆ１、ｆ２、ｆ５、ｆ８｝で成立と言うわけです。


　　　　　　　　　　　　図３

　では「隠れた４国同盟」の成立はどうは。「隠れた４国同盟」に登場する候補数はそのユニットの中で４回以下と言う条件がありますから、登場する回数が５回以上の候補数は考える対象から外します。図２のオセロ石の配置から５回以上登場する候補数４と５に対応する４列と５列からオセロ石を取り除いた状態が図４です。
　図４で上手く４列を選び、その４列に登場する行（図４ではａ～ｉ行。実際はそれに対応すｆ１マス～ｆ９マス）が４個のものを見出すわけです。これまた「Jerry  Fish」の探索と同じです。列についての考察で「Jerry  Fish」を探すわけで、これまた容易に１列、６列、８列、９列が「Jerry  Fish」を構成し、登場する行はｄ行（実はｆ４マス）、ｆ行（実はｆ６マス）、ｇ行（実はｆ７マス）、ｉ行（実はｆ９マス）であることが分かると思います。
　｛ｆ４、ｆ６、ｆ７、ｆ９｝の４マスが「隠れた４国同盟」構成です。


　　　　　　　　　　　　図４
　さていよいよｉ行の考察です、図１のｉ１～ｉ８マスの候補数の存在に対応してオセロ石を置きます。図５の様になります。


　　　　　　　　　　　　　図５
　「自明の４国同盟」では５個以上の候補数の登場するマス（上の図ではｄ行）からオセロ石を取り除いた図６で、行についての「Jerry  Fish」を考察します。これにはかなり時間を要すると思いますが、視覚的にその成立が無い事が確かめられると思います。


　　　　　　　　　　　　図６
　最後に「隠れた４国同盟」の考察ですが、図５で５回以上登場する候補数はありませんから、削除する列は無く、図５そのものを対象にして、列についての考察で「Jerry  Fish」の成立を考察します。これもかなり時間が掛かることと思いますが、丁寧な視覚的観察により、「Jerry   Fish」不成立を確かめられる事と思います。
　一般的に言えばｆ行対応のオセロ石の状態図２や、ｉ行対応のオセロ石状態図５の、行と列の考察で「自明の４国同盟」と「隠れた４国同盟」が考察出来るわけで、「自明」と「隠れた」が統一的に考察出来ます。
　最後に９マス全部が未知のユニットはどう考察するのかと言う問題が残りますが、「自明の４国同盟」と「隠れた４国同盟」考察が、実は「５国同盟」の考察になっていることを指摘しておきます。「４国同盟」を超えて考察する必要は無い！のです。

第３章 中級ステップ（８）

（２）「候補数を消去する」手筋
　「４国同盟」について更に考察を進めます。図１でｆ行とｉ行のどちらかで、「同盟関係」が成立していますが、どちらの行でしょうか。又「何国同盟」でしょう。

　　　　　　　　　　　　　図１
　ｆ行から見てみます。まず「自明の３国同盟」は成立していません。続いて「自明の４国同盟」が成立していないか調べます。この問題では”直感”で読み取れるかも知れません。”直感”で読み取れない場合を想定して、解決への戦略を考えます。
　「自明の４国同盟」に登場するマスは候補数が４個以下です。
｛ｆ１、ｆ２、ｆ５、ｆ７、ｆ８｝の５個が考察対象になります。
　ｆ1=｛      4,5,  7,    ｝
　f2=｛    3,4,5,        ｝
　f5=｛    3,4,5,        ｝
　f7=｛1,          7,8,9｝
  f8=｛      4,5,  7,    ｝
と横に書き並べて見ると、f1,f2,f5,f8の４マスが「自明の４国同盟」を形成することは明らかです。「数独」問題作成とは別の用紙を用意しておいて、上記の様な表作成が、マーちゃんの戦略です。
　ただ、考察するマスが多くて表から読み取れない場合もあるかも知れません。万一「自明の４国同盟」を発見出来ないときはどうするのか？
　「隠れた４国同盟」に考察を変えます。「隠れた４国同盟」に登場できる数は、そのユニット（この場合は行）に登場する回数が４回以下ですから、この場合は｛1,3,6,7,8,9｝が考察対象です。
（４と５は考える対象から外します）そして、次の様に並べます。
　 f1=｛            7,    ｝
　 f2=｛    3,            ｝
   f4=｛1,        6,  8,9｝
   f5=｛    3,             ｝
　 f6=｛1,        6,  8,9｝
　 f7=｛1,          7,8,9｝
　 f8=｛            7,     ｝
   f9=｛1,          7,8,9｝
　数として｛1,6,8,9｝を選べば｛f4,f6,f7,f9｝マスに収まる事が読み取れることと思います。
　かくして候補数｛1,6,8,9｝が｛f4,f6,f7,f9｝の４マスで「隠れた４国同盟」形成です。図２にその様子を示します。　


　　　　　　　　　　　　　図２
黄色印４マスが「自明の４国同盟」形成、ピンク印４マスが「隠れた４国同盟」形成です。
　問題はｉ行の考察です。「４国同盟」成立は「４国同盟」成立の”具体的証拠”から判定できますが、「４国同盟」が成立していないは、どこまで確かめれば良いのかです。次回ブログではその事に触れて「中級ステップ」を終了し「上級ステップ」に移ります。

第３章 中級ステップ（７）

（２）「候補数を消去する」手筋
　⑨「４国同盟」を調べる
　「４国同盟」は「３国同盟」の拡張です。
　「自明の４国同盟」は『ユニット内の４マスに登場する数は４つの候補数のみ』の配置状況を言います。
　「隠れた４国同盟」は『ユニット内の４つの候補数は４マスにのみ存在する』配置状況を言います。
　図１はあるブロックのみを書きました。このブロックで「３国同盟」が成立していますが、「自明の３国同盟」か「隠れた３国同盟」か、分かりますか。直ぐ後ろに解答がありますが、お考え下さい。


　　　　　図１


解答

　　　　図２
 　この様な問い掛けだと、そう難しくないと思います。ピンク印の３マスに｛１、２、９｝のみ登場しますから「自明の３国同盟」成立です。黄色印で「隠れた４国同盟」が成立しています。
　確かめて見ますと、｛３，４，５、８｝の４数はこの黄色印４マスにだけ存在します。
　数が確定していないマスが７個のとき、「自明の３国同盟」と「隠れた４国同盟」が同時成立です。「自明の３国同盟」の３を《３》で表し「隠れた４国同盟」の４を【４】で表すとすると
　７＝《３》＋【４】　が成立しています。

　さて次の図３の様な状態での同盟関係はどの様に成立しているでしょうか？解答は図４です。


　　　　　　図３

解答　図４の様にピンク印４マスの｛３，４，５，９｝で「自明の４国同盟」が成立し、黄色印３マスで｛１、６、８｝の「隠れた３国同盟」が成立しています。この場合は
　　７＝《４》＋【３】です
　　

　　　　　　図４

　証明は書きませんが、未定マスが７個の場合、次の３通りが成立可能です。
　７＝《３》＋《４》　（どちらも自明の同盟）
　７＝《３》＋【４】
　７＝《４》＋【３】
　「隠れた３国同盟」と「隠れた４国同盟」が同時に成立することはあり得ません（隠れた同盟の定義から明らかですが・・・）　
　この事実は戦略的意味を持ちます。ある方のブログで「６国同盟」が成立していました、と書かれていましたが、仮にその問題のユニットの未確定マスが９としても
　　９＝《６》＋【３】ですから、「隠れた３国同盟」の発見を急げばもっと早い段階で、それほどの苦労なく「同盟」関係を見出したと思います。


　　　　　　図３
　図３を再掲しました。このユニットでの「同盟関係」攻略の戦略を考えます。
　「自明の同盟」関係を先に考察するのが良いのか「隠れた同盟」関係を先に考察するのがベストかと言う問題です。
　一般的に言って「自明の同盟関係」の方が発見しやすいと思います。そこでマーちゃんは「自明の同盟」関係を「３国同盟」～「４国同盟」まで調べます。（今まで述べてきた理由から「５国同盟」は調べる必要が無いのです）
　図３で、「自明の３国同盟」は成立していませんから「自明の４国同盟」を調べます。「自明の４国同盟」に登場出来るマスは候補数が４個以下ですから、図３のマスでは候補数が
　（４、５、９）、（４，５）、（３，４，５）、（１，８）、（３，５，９）の５マスで、この様な問題では直感で読めてしまうかも知れませんが、
マーちゃんは例えば１を基準にして、１と全く同席（マスを共有しないと言う意味）しない数を探します。直ぐに｛４と５｝が発見できます。その｛４と５｝をベースにして、４と５を含むマスを調べると
　（４、５，９）、（４，５）、（３，４，５）、（３，５，９）の４マスが浮かび上がりこの４マスで「自明の４国同盟」が成立する事を発見出来ます。
　不幸にして「自明の４国同盟」が発見出来なかった時は「隠れた３国同盟」へ考察を変えます。
　少し回りくどい言い方になってしまいました。数が未知のマスが７個の場合、「自明の３国同盟」→「自明の４国同盟」→「隠れた３国同盟」の順に考えます。
（「自明の３国同盟」は絶対に見逃すことは無いほど見易い、との判断が働いています。だから「隠れた４国同盟」は考えなくても良い！のです。但し未定数が８又は９となると若干修正しますが）
　次回ブログでは「隠れた同盟」発見の戦略を述べます。

第３章 中級ステップ（６）

（２）「候補数を消去する」手筋
　⑨「３国同盟」
　図１をご覧下さい。ある問題を解いて来て、ここで一見先に進まなくなった状態とします。「X-wing」～「Squirmbag」等の手筋の成立を調べたが、発見出来なかったとします。
　今までは、一部の例外を除いて、ある一つの候補数について消去出来ないかを調べてきました。ここからは複数の候補数について調べを始めます。
　一部の例外と書きましたが、④「自明の２国同盟」と⑤「隠れた２国盟」が例外でした。理論的な流れから行けば、これらの「２国同盟」は複数（２個）の候補数について調べていますから、単独の候補数の後に調べるべきかも知れませんが、実は「２国同盟」を手筋として使う問題が圧倒的に多いのです。そこで戦略的狙いで、やや早めに登場させました。
　複数の候補数について考察するのも２段階あります。
 （a)同一ブロックについて考察する。
  (b)複数のブロックについて考察する。
　です。(a)については、この中級ステップで　(b)についてが上級ステップの「XY-Wing」や「浜田ロジック」等で取り上げます。前置きが長くなりましたが、図１に注目して下さい。
　

　　　　　　　　　　　　図１
 図１の６列の黄色印３マス、ここに登場する数３と４と７は、次の条件を満たしています。
　「この３マスには３と４と７以外の数は登場しない」
　一般的に言えば「３マスに登場する数はｘ、ｙ、ｚの３数だけである」この条件を満たすとき、３マスに登場する３数は「自明の３国同盟をなす」と呼ぶ事にします。
　この問題に即して言えば、６列の｛a,c,f｝マス（黄色印マス）の｛３，４，７｝は「自明の３国同盟」をなしています。「自明の２国同盟」の拡張です。どの様な効果を他に及ぼすかと言う問題ですが、３と４と７はこの３マス内に収まる＝３つセットでの準確定なので、この３マス以外には３も４も７も存在し得ない。言い換えれば候補数が存在すればその数を消去出来る、となります。
　そこでｇ６のマスから４を消去出来ます。
　消去できる理由付けは違う面からも説明可能です。もしｇ６＝４が成立するとａ６、ｃ６、ｆ６に入る数が不足してします！
　ここで重要な点を指摘しておきます。６列の３つのマスａ、ｃ、ｆが「３国同盟」をなしている反面、ここに入れない３国（すなわち３マス）はどうなっているのか。こちらも言わば反「自明の３国同盟」の立場から「３国同盟」をなしているのが当然ではないでしょうか！
　しかし「自明の３国同盟」の定義「３マスに登場する数は３つの数のみ」を満たしていません。ただ次の条件は満たしています。
　「３つの数は３マスにのみ」存在する。同じような条件に見えるかも知れませんが違います。６列のｄ、ｇ、ｈ行（ピンク色印マス）の候補数を良く見ると、この３マスでは数は｛２，４、６，８｝の４個が登場し「自明の３国同盟」を成してはいませんが、｛２、６、８｝の３数に限定すると３マス｛ｄ、ｇ、ｈ｝にのみ存在します（他のマスに２、６，８は存在しません。確かめて見てください）この時この３数の登場する３マスを「隠れた３国同盟」と呼びます。
　「自明の３国同盟」はその３数の存在がはっきりと、（見える人には）見えるから「自明の」が付き、「隠れた３国同盟」はその３数以外の数も登場し来て「３国同盟」が言わば隠れる様に存在していることから「隠れた３国同盟」との名が冠せられていると思います。


　　　　　　　　　　　　図２
　黄色印３個が「自明の３国同盟」でピンク色印３個が「隠れた３国同盟」です。「自明の３国同盟」の成立故に「隠れた３国同盟」を構成するマスから、（存在すれば）３と４と７を消去します。この局面ではｇ６から４が消去され図２に至ります。
　「隠れた３国同盟」は｛２、６、８｝のみから成立するとして、６列の｛ｄ、ｇ、ｈ｝行から、これらの候補数以外の数を消去すると考えても良いと思います。図２は消去後の局面です。


　　　　　　　　　　　　図３
　その後の展開を一部書きますと、ｇ行に候補数４は２個（ｇ２、ｇ３の赤色マス）存在し、しかもⅦブロック内の２個ですから、ｉ２から候補数４が消去され、ｉ４＝５が確定、連鎖反応的にｉ４＝５、ｃ４＝４が確定し、それに伴い候補数を消しゴムで消して図４に至りました。


　　　　　　　　　　　　図４
 例題６　さて図４から３国同盟を探してください。解答は図５です。




                           図５
　黄色印のマスが「自明の３国同盟」であり、ピンク印マスが｛４，５，９｝の「隠れた３国同盟」です。
　最大のポイントは未確定６マスが二つの３国同盟に分かれたと言うことです。
　６＝３＋３　次回のブログでは、この点の考察を推し進めて行きます。