算額（その1297）

#和算

算額（その1297）

七十二 群馬県富岡市一ノ宮 貫前神社 嘉永2年(1849)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円2個，直角三角形，正五角形

直角三角形の中に正五角形と甲円，乙円を容れる。甲円の直径が 5 寸のとき，乙円の直径はいかほどか。

正五角形を内包する円の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (r1 - R*cosd(18), R)
乙円の半径と中心座標を r2(x2, r2 -R*cosd(36))
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive,
     x2::positive;
eq1 = dist2(0, R, R*cosd(Sym(18)), R*sind(Sym(18)), r1 - R*cosd(Sym(18)), R, r1)
eq2 = dist2(0, R, R*cosd(Sym(18)), R*sind(Sym(18)), x2, r2 - R*cosd(Sym(36)), r2)
eq3 = dist2(R*sind(Sym(36)), -R*cosd(Sym(36)), R*cosd(Sym(18)), R*sind(Sym(18)), x2, r2 - R*cosd(Sym(36)), r2);

SymPy の能力的に，一度には解けないので，逐次解いていく。

まず，eq1 を解き，R を求める。

ans_R = solve(eq1, R)[1] |> simplify
ans_R |> println

   r1*((-sqrt(10) + 5*sqrt(2))*sqrt(sqrt(5) + 5) + 8*sqrt(5))/10

eq2 の R に ans_R を代入し，x2 を求める。

eq12 = eq2(R => ans_R) |> simplify
ans_x2 = solve(eq12, x2)[1]  # 1 of 2
@syms d
ans_x2 = apart(ans_x2, d) |> simplify |> sympy.sqrtdenest|> simplify
ans_x2 |> println

   (-4*sqrt(2)*r1 - 2*r1*sqrt(5 - sqrt(5)) - sqrt(10)*r2 + 5*sqrt(2)*r2)/((-3 + sqrt(5))*sqrt(5 - sqrt(5)))

eq3 の R に ans_R，x2 に ans_x2 を代入し，r2 を求める。

eq13 = eq3(R => ans_R, x2 => ans_x2) |> simplify |> numerator
ans_r2 = solve(eq13, r2)[2]  # 2 of 2
ans_r2 = apart(ans_r2/r1, d) |> x -> x*r1
ans_r2 |> println

   r1*(-sqrt(2)*sqrt(sqrt(5) + 5) - sqrt(5) + 3 + sqrt(10)*sqrt(sqrt(5) + 5)/2)

甲円の直径が 5 寸のとき，各パラメータは以下のように計算される。
乙円の直径は 2*3.032399997699489 = 6.064799995398978 である。

r1 = 5/2
t = sqrt(5 + √5)
u = sqrt(5 - √5)
r2 = r1*(3 - √5 + t*(√10/2 - √2))
x2 = (r2*(5√2 - √10) -　r1*(4√2 + 2*u))/((√5 - 3)*u)
R = r1*((5√2 - √10)*t + 8√5)/10
(r2, x2, R)

   (3.032399997699489, 8.347481064940814, 7.1007915155952475)

function draw(r1, more)
    pyplot(size=(600, 600), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   t = sqrt(5 + √5)
   u = sqrt(5 - √5)
   r2 = r1*(3 - √5 + t*(√10/2 - √2))
   x2 = (r2*(5√2 - √10) -　r1*(4√2 + 2*u))/((√5 - 3)*u)
   R = r1*((5√2 - √10)*t + 8√5)/10
   @printf("甲円の直径が %g のとき，乙円の直径は %.15g である。\n", 2r1, 2r2)
   plot([R*cosd(18), 0, -R*cosd(18), -R*sind(36), R*sind(36), R*cosd(18)],
        [R*sind(18), R, R*sind(18), -R*cosd(36), -R*cosd(36), R*sind(18)], color=:magenta, lw=0.5)
   circle(r1 - R*cosd(18), R, r1)
   circle(x2, r2 - R*cosd(36), r2, :blue)
   (x01, y01) = Float64.(intersection(0, R, R*cosd(18), R*sind(18), -R*cosd(18), 0, -R*cosd(18), -R*sind(36)))
   (x02, y02) = Float64.(intersection(0, R, R*cosd(18), R*sind(18), R*sind(36), -R*cosd(36), -R*cosd(18), -R*cosd(36)))
   plot!([x01, x02, x01, x01], [y02, y02, y01, y02], color=:green, lw=0.5)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(r1 - R*cosd(18), R, "甲円:r1,(r1-R*cosd(18),R)", :red, :left, :bottom, delta=delta, deltax=-8delta)
       point(x2, r2 - R*cosd(36), "乙円:r2,(x2,r2-R*cosd(36))", :blue, :left, :bottom, delta=delta, deltax=-8delta)
       point(0, R, "(0,R)", :magenta, :center, delta=-2delta)
       point(R*cosd(18), R*sind(18), "(R*cosd(18),Rsind(18)) ", :magenta, :right, :vcenter)
       point(R*sind(36), -R*cosd(36), "(R*sind(36),-R*cosd(36))", :magenta, :right, :bottom, delta=delta)
   end  
end;

draw(5/2, true)