素数

素数は、正の整数の中で、１とその数自身以外の因数を持たない数だとされ、２はその中で最初に現れ、かつ素数の中で唯一の偶数だとされている。

しかし、容易に分かるように、もし虚数の利用を認めるなら
　2 = (1 + i) (1 – i)
と因数分解できるので、素数から除かれる。
同様にして
　5 = (2 + i) (2 – i)
も除かれる。　一般に
　c = a^2 + b^2 = (a + b i) (a – b i)
となる数はすべて素数ではない。

素数とされてきた数であっても複素数に因数分解できるなら素数から除外されるとするのであれば、逆に因数分解できない複素数があれば素数にカウントすることも顧慮しないと公平でない。

複素平面の格子点を座標とする整複素数 C = A + B i が
　(a + b i) (c + d i)
　ただし、A, B, a, b, c, dは整数
の形式に分解できないなら素数だ、ということになる。
しかし、たとえば
　1 + 3i = (1 + i) (2 + i)
は分解できるので素数でない。

自然数の中から素数でないものを篩い落とすように、整複素数に篩を掛けるには
　A = ac - bd
　B = bc + ad
となる a, b, c. d の組が１つでも見つかれば良い。
簡単のために　a = b = 1 とすれば、AとBが共に偶数あるいは奇数なら、
　c = (A + B) / 2, d = (B - A) / 2
とすれば分解できる。
もしAとBの一方が奇数で他方が偶数なら、aを2あるいはbを2とするなどして因数を見つけることが出来るだろう。

素数といえば先ず複素数を引数とするゼータ関数との関係が問われているのだから、整複素数の範囲で因数分解できるかどうかも問題になってよい。

その結果、素数研究で重要だった定理を除外したり修正したり、あるいは追加したりしなければならなくなるかも知れない。
そのことにどんな意味があるのか。
素数の範囲を整複素数に広げれば計算が煩瑣になることは明らかで、煩瑣になることが暗号化などのためにメリットをもたらすのかも知れない。