算額（その1389）

算額（その1389）

 

番外九 武州 慈恩寺

埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

キーワード：球5個，外球，3 次元，ソディ・ゴセットの n+1 球定理

#Julia, #SymPy, #算額, #和算

 

外球の中に小球を 4 個容れる。外球の直径が 1 寸のとき，小球の直径はいかほどか。

1.　ソディ・ゴセットの n+1 球定理による解答

 

算額（その1374）で用いた方法である。

 

外球の半径を R，小球の半径を r とおき，以下の方程式をとき r を求める。

 

using SymPy

 

@syms r::positive, R::positive

eq = 3(4(1/r^2) + 1/R^2) - (4/r - 1/R)^2;

 

solve(eq, r)[1] |> println

 

   R*(-2 + sqrt(6))

 

小球の半径 r は，外球の半径 R の (√6 - 2) 倍である。

外球の直径が 1 寸のとき，小球の直径は √6 - 2 = 0.4494897427831779 寸である。

 

答えは「4分4厘有奇」と正確とは言い難いが，術は「6 の平方根から 2 を引いて外球の直径を掛ける」とあるので正確である。誤差の主原因は √6 に不正確な近似値 2.44 を使用しためであろうか。2.44 - 2 =0.44

 

s6 = 2.44

s6 - 2

 

   0.43999999999999995

 

2.　基礎的なところから計算する解答

 

半径が r の 4 つの小球の中心は，一辺が a = 2r の正四面体の頂点である。

小球が内接する外球の半径 R は、各球の中心から正四面体の重心までの距離に加え、各球の半径を加えることで求められる。

 

1. 一辺の長さが a の四面体において，重心から各頂点までの距離 d は

    d = sqrt(3/8)*a

2. 内接する球の半径 R は

    R = d + r

      = sqrt(3/8)*a + r

      = sqrt(3/8)*2r + r

      = (sqrt(3/8)*2 + 1)*r

         = (1 + √6/2)*r

   3. また，小球の半径 r は

       r = R/(sqrt(3/8)*2 + 1)

         = (√6 - 2)*R

 

外球の半径が R = 0.5 のとき，小球の半径は r = √6 - 2 = 0.22474487139158905

直径はその 2 倍の 2*0.22474487139158905 = 0.4494897427831781 である。