算額（その706）
八六 加須市多聞寺 愛宕神社 明治13年(1880)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
埼玉の算額ほか
https://gunmawasan.web.fc2.com/files/saitama-sangaku-h24.html
愛宕神社の復元算額 明治13年（部分拡大図）（加須市）
https://gunmawasan.web.fc2.com/files/sangak-corner/atago-3s.jpg
キーワード：円5個，外円，二等辺三角形
#Julia, #SymPy, #算額, #和算
直径 163 寸の外円内に圭（二等辺三角形），大円 2 個，小円 2 個が入っている。小円の直径はいかほどか。
注：後述するが 163 寸ではなく 162 寸である。
外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (0, r1 - R), (0, 3r1 - R)
小円の半径と中心座標を r2, (x2, 2r1 - R - r2)
二等辺三角形の底辺と外円の接点を (x1, y1); y1 = 2r1 - R, x1 = sqrt(R^2 - y1^2)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt");
using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive, x2::positive
eq1 = dist(sqrt(R^2 - (2r1 - R)^2), 2r1 - R, 0, R, 0, 3r1 - R) - r1^2
eq2 = x2^2 + (2r1 - R - r2)^2 - (R - r2)^2
eq3 = x2^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, r2, x2))
1-element Vector{Tuple{Sym, Sym, Sym}}:
(4*R/9, 20*R/81, 8*sqrt(5)*R/27)
小円の半径は 外円の半径の 20/81 倍である。
術では「外径を 20 倍し 80 で割る」とあるが，正しくは「81 で割る」であろう。
また，問にある「外径163寸」というのも「外径162寸」であろう。
この問に限らず，この算額にはミスが多い。
以上 2 点を修正すると，「外円の直径が 162 寸のとき，小円の直径は 40 寸」である。
その他のパラメータは以下のとおりである。
r1 = 36; r2 = 20; x2 = 53.6656
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
R = 162//2 # 「問」のミスを修正
(r1, r2, x2) = (4*R/9, 20*R/81, 8*sqrt(5)*R/27)
@printf("小円の直径 = %g\n", 2r2)
@printf("r1 = %g; r2 = %g; x2 = %g\n", r1, r2, x2)
y1 = 2r1 - R
x1 = sqrt(R^2 - y1^2)
plot([x1, 0, -x1, x1], [y1, R, y1, y1], color=:black, lw=0.5)
circle(0, 0 , R, :blue)
circle(0, r1 - R, r1)
circle(0, 3r1 - R, r1)
circle(x2, 2r1 - R - r2, r2, :blue)
circle(-x2, 2r1 - R - r2, r2, :blue)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
vline!([0], color=:black, lw=0.5)
point(0, r1 - R, " 大円:r1\n (0,r1-R)", :red, :left, :vcenter)
point(0, 3r1 - R, " 大円:r1\n (0,3r1-R)", :red, :left, :vcenter)
point(x2, 2r1 - R - r2, "小円:r2\n(x2,2r1-R-r2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
point(x1, y1, "(x1,y1) ", :black, :right, :bottom, delta=delta/2)
end
end;
