算額（その301）
「三重県に現存する算額の研究」福島完(2007/2/13)
https://mie-u.repo.nii.ac.jp/?action=repository_uri&item_id=7216
三重県伊賀市 永保寺 天保15年(1844)
正三角形の中に図のように円，正方形が入っている。正三角形の面積が 2625 平方寸のとき，それぞれの大きさを求めよ。
正三角形の一辺の長さを 2a とする。
下の同心円の中心座標は (0, a/2)，大きい円の半径 r1 は a/2 である。
上にある円の半径を r2 とし，以下の方程式を解き，a, r1, r2 を求める。
include("julia-source.txt");
using SymPy
@syms a::positive, r1::positive, r2::positive
eq1 = a*sqrt(Sym(3))a - 2625
eq2 = a*tan(PI/6) - r1
eq3 = (sqrt(Sym(3))a - r2 - 2r1)sin(PI/6) - r2;
今回は，正三角形の面積が 2625 平方寸ということで，a が特定されている。
res = solve(eq1, a)
res[1] |> println
5*3^(1/4)*sqrt(35) # a
一般解を求める場合には以下の2元連立方程式を解く。
res = solve([eq2, eq3], (r1, r2))
Dict{Any, Any} with 2 entries:
r2 => sqrt(3)*a/9
r1 => sqrt(3)*a/3
ついで，図中の b 及び小円の半径 r3 を求める。
a = 38.929994; r1 = 22.476243; r2 = 7.492081
b = 15.893104; r3 = 11.238121
三角面（正三角形の一辺の長さ）= 77.85998861
中勾（三角形の高さ）= 67.42872808
下円径（大きい円の直径）= 44.95248538
上円径（上の円の直径）= 14.98416179
大方面（大きい正方形の一辺の長さ) = 31.78620725
小方面（小さい正方形の一辺の長さ) = 22.47624269
小円径（小円の直径） = 22.47624269
小円廻り（小円の円周） = 70.61119892
using Plots
function draw(zoomin=false, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
a = 5*3^(1/4)*sqrt(35)
r1 = sqrt(3)*a/3
r2 = sqrt(3)*a/9
b = r1*cos(PI/4)
r3 = b*cos(PI/4)
@printf("a = %.6f; r1 = %.6f; r2 = %.6f\nb = %.6f; r3 = %.6f\n", a, r1, r2, b, r3)
@printf("三角面（正三角形の一辺の長さ）= %.8f\n", 2a) # 77.85998861
@printf("中句（三角形の高さ）= %.8f\n", a * √3) # 67.42872808
@printf("下円径（大きい円の直径）= %.8f\n", sqrt(3)*a/3 * 2) # 44.95248538
@printf("上円径（上の円の直径）= %.8f\n", sqrt(3)*a/9 * 2) # 14.98416179
@printf("大方面（大きい正方形の一辺の長さ) = %.8f\n", 2r1*cos(pi/4)) # 31.78620725
@printf("小方面（小さい正方形の一辺の長さ) = %.8f\n", 2(b/√2)) # 22.47624269
@printf("小円径（小円の直径） = %.8f\n", 2r3) # 70.61119892087622
@printf("小円廻り（小円の円周） = %.8f\n", 2r3*pi) # 70.61119892087622
plot([a, 0 , -a, a], [0, √3a, 0, 0], color=:black, lw=0.5)
circle(0, r1, r1)
circle(0, r2 + 2r1, r2, :blue)
rect(-b, r1 - b, b, r1 + b, :magenta)
plot!([b, 0, -b, 0, b], [r1, r1 + b, r1, r1 - b, r1], color=:green, lw=0.5)
circle(0, r1, r3, :orange)
if more
point(0, √3a, " √3a", :black, :left, :bottom)
point(a, 0, " a", :black, :left, :bottom)
point(0, r1, " r1", :red, :left, :bottom)
point(0, r1+r3, "\n r1+r3", :orange, :left, :top)
point(0, r1 + b, " r1+b", :green, :left, :bottom)
point(0, r1 - b, " r1-b", :green, :left, :top)
point(b, r1, "\n(b,r1)", :green, :left, :top)
point(0, 2r1 + r2, " 2r1+r2", :blue)
vline!([0], color=:black, lw=0.5)
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
else
plot!(showaxis=false)
end
end;
