算額(その1363)
三十三 群馬県佐波郡境町伊与久 雷電神社 文化14年(1817)
群馬県和算研究会:群馬の算額,上武印刷株式会社,高崎市,1987年3月31日.
キーワード:円14個,外円,正三角形
#Julia, #SymPy, #算額, #和算
外円の中に正三角形と円 13 個を容れる。甲円の直径が 39.9 寸のとき,丙円の直径はいかほどか。
図形を反時計回りに 90° 回転させたものを考える。
外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (0, 0)
乙円の半径と中心座標を r2, (r1 + r2, r2)
丙円の半径と中心座標を r3, (r1 + r3, y3)
とおき,以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt");
using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive,
r3::positive, y3::positive;
R = 2r1
eq1 = (r1 + r2)^2 + r2^2 - (R - r2)^2
eq2 = (r1 + r3)^2 + y3^2 - (R - r3)^2
eq3 = y3 - r2 - 2sqrt(r2*r3)
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r2, r3, y3))[1];
丙円の半径は r1*(-267 - 56*sqrt(21 - 12*sqrt(3)) + 36*sqrt(7 - 4*sqrt(3)) + 190*sqrt(3))/169 となるが,これは二重根号を解消することにより,実にスッキリと簡約化される。
res[2] |> println
r1*(-267 - 56*sqrt(21 - 12*sqrt(3)) + 36*sqrt(7 - 4*sqrt(3)) + 190*sqrt(3))/169
丙円の半径は,甲円の半径の 3(14√3 - 9)/169 倍である。
res[2] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
3*r1*(-9 + 14*sqrt(3))/169
甲円の直径が 39.9 寸のとき,丙円の直径は 39.9 * 3(14√3 - 9)/169 = 10.800418599549849 寸である。
全てのパラメータは以下のとおりである。
R = 39.9; r1 = 19.95; r2 = 9.25883; r3 = 5.40021; y3 = 23.4009
function draw(r1, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(r2, r3, y3) = (r1*(-3 + 2*sqrt(3)), r1*(-267 - 56*sqrt(21 - 12*sqrt(3)) + 36*sqrt(7 - 4*sqrt(3)) + 190*sqrt(3))/169, r1*(-6*sqrt(3) + 12*sqrt(7 - 4*sqrt(3)) + 16*sqrt(21 - 12*sqrt(3)) + 15)/13)
R = 2r1
@printf("甲円の直径が %g のとき,丙円の直径は %g である。\n", 2r1, 2r3)
@printf("R = %g; r1 = %g; r2 = %g; r3 = %g; y3 = %g\n", R, r1, r2, r3, y3)
plot([r1, -R, r1, r1], [√3r1, 0, -√3r1, √3r1], color=:brown, lw=0.5)
circle(0, 0, R, :orange)
circle(0, 0, r1, :magenta)
rotate(r1 + r2, r2, r2, :blue)
rotate(r1 + r2, -r2, r2, :blue)
rotate(r1 + r3, y3, r3, :green)
rotate(r1 + r3, -y3, r3, :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(r1 + r2, r2, "乙円:r2\n(r1+r2,r2)", :blue, :center, delta=-delta)
point(r1 + r3, y3, "丙円:r3,(r1+r3,y3) ", :green, :right, :vcenter)
point(r1, 0, "r1 ", :magenta, :right, :bottom, delta=delta/2)
point(R, 0, " R", :orange, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(r1, √3r1, "(r1,√3r1)", :brown, :left, :vcenter)
end
end;
draw(39.9/2, true)