算額（その1576）
佐久間纉：算法起源集,1877.
https://kokusho.nijl.ac.jp/biblio/100234582/69?ln=ja
山田潤：動的幾何ソフトウエアを利用した平面図形の作図についての一考察 - 和算所にある平面図形問題の利用 -
2023018-Yamada.pdf
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/2273-19.pdf
キーワード：円7個，外円
#Julia, #SymPy, #算額, #和算
外円の中に甲円，乙円，丙円を 2 個ずつ容れる。甲円，乙円，丙円の直径が与えられたとき，外円の直径はいかほどか。
外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (x2, y2)
丙円の半径と中心座標を r3, (x3, y3)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt")
# julia-source.txt ソース https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/ad3a427b84bb416c4f5b73089ae813cf
using SymPy
@syms R::positive, r1::positive,
r2::positive, x2::positive, y2::negative,
r3::positive, x3::positive, y3::positive
eq1 = x2^2 + y2^2 - (R - r2)^2 |> expand
eq2 = x3^2 + y3^2 - (R - r3)^2 |> expand
eq3 = x2^2 + (y2 - r1 + R)^2 - (r1 + r2)^2 |> expand
eq4 = x3^2 + (R - r1 - y3)^2 - (r1 + r3)^2 |> expand
eq5 = (x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 - (r2 + r3)^2 |> expand;
まず，eq1, eq3 の連立方程式から x2, y2 を求める。
res2 = solve([eq1, eq3], (x2, y2))[1]
(-2*sqrt(R)*sqrt(r1)*sqrt(r2)*sqrt(R - r1 - r2)/(-R + r1), -(-R^2 + R*r1 + R*r2 + r1*r2)/(-R + r1))
次に，eq2, eq4 の連立方程式から x3, y3 を求める。
res3 = solve([eq2, eq4], (x3, y3))[1]
(-2*sqrt(R)*sqrt(r1)*sqrt(r3)*sqrt(R - r1 - r3)/(-R + r1), (-R^2 + R*r1 + R*r3 + r1*r3)/(-R + r1))
eq5 の x2, y2, x3, y3 に求められた解を代入し，整理する。
eq15 = eq5(x2 => res2[1], y2 => res2[2], x3 => res3[1], y3 => res3[2])/R |> simplify |> numerator;
しかし，このままでは SymPy では解けない。
eq15 |> println
4*R^3 - 8*R^2*r1 - 4*R^2*r2 - 4*R^2*r3 + 4*R*r1^2 + 4*R*r1*r2 + 4*R*r1*r3 - 8*r1*sqrt(r2)*sqrt(r3)*sqrt(R - r1 - r2)*sqrt(R - r1 - r3) + 8*r1*r2*r3
8*r1*sqrt(r2)*sqrt(r3)*sqrt(R - r1 - r2)*sqrt(R - r1 - r3) の項とそれ以外の項をそれぞれ二乗し，方程式を再構成する。
eq25 = (4*R^3 - 8*R^2*r1 - 4*R^2*r2 - 4*R^2*r3 + 4*R*r1^2 + 4*R*r1*r2 + 4*R*r1*r3 + 8*r1*r2*r3)^2 - ( - 8*r1*sqrt(r2)*sqrt(r3)*sqrt(R - r1 - r2)*sqrt(R - r1 - r3))^2;
ここまで来ると SymPy でも解ける。
res = solve(eq25)[2]; # 2 of 5
res[R] |> println
r1 + r2 + r3
外円の半径は，甲円，乙円，丙円の半径の合計である。
なお，x2 = x3 であることがわかる。
# x2
res2[1](R => r1 + r2 + r3) |> println
# x3
res3[1](R => r1 + r2 + r3) |> println
-2*sqrt(r1)*sqrt(r2)*sqrt(r3)*sqrt(r1 + r2 + r3)/(-r2 - r3)
-2*sqrt(r1)*sqrt(r2)*sqrt(r3)*sqrt(r1 + r2 + r3)/(-r2 - r3)
function draw(r1, r2, r3, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
R = r1 + r2 + r3
(x2, y2) = (-2*sqrt(R)*sqrt(r1)*sqrt(r2)*sqrt(R - r1 - r2)/(-R + r1), -(-R^2 + R*r1 + R*r2 + r1*r2)/(-R + r1))
(x3, y3) = (-2*sqrt(R)*sqrt(r1)*sqrt(r3)*sqrt(R - r1 - r3)/(-R + r1), (-R^2 + R*r1 + R*r3 + r1*r3)/(-R + r1))
@printf("r1 = %g; r2 = %g; r3 = %g; R = %g; x2 = %g; y2 = %g; x3 = %g; y3 = %g\n",
r1, r2, r3, R, x2, y2, x3, y3)
plot()
circle(0, 0, R, :green)
rotate(0, R - r1, r1, angle=180)
rotate(x2, y2, r2, :blue, angle=180)
rotate(x3, y3, r3, :magenta, angle=180)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, R, "R", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
point(0, R - r1, "甲円:r1,(0,R-r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(x2, y2, "乙円:r2,(x2,y2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
point(x3, y3, "丙円:r3\n(x3,y3)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
end
end;
draw(0.5, 0.3, 0.2, true)
