算額（その1569）
百 大船渡市猪川町 雨宝堂 現雨宝山竜宝院 文政10年(1827)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円14個
#Julia, #SymPy, #算額, #和算
内部にそれぞれ 3 個の中円が入った 2 個の大円が，互いに接し合う小円 6 と接している。小円の直径が 1 寸のとき，中円の直径はいかほどか。
大円の半径と中心座標を r1, (x1, 0)
中円の半径を r2
小円の半径と中心座標を r3, (0, r3), (r3, y3)
とおき，以下の連立方程式を解く。
まず，大円と小円について以下の連立方程式を解く。大円の中の中円については後で。
include("julia-source.txt");
# julia-source.txt ソース https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/ad3a427b84bb416c4f5b73089ae813cf
using SymPy
@syms r1::positive, x1::positive,
r3::positive, y3::positive
eq1 = x1^2 + r3^2 - (r1 + r3)^2
eq2 = (x1 - r3)^2 + y3^2 - (r1 + r3)^2
eq3 = r3^2 + (y3 - r3)^2 - 4r3^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, x1, y3))[1];
# r1
res[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
r3*(-1 + sqrt(2) + sqrt(6))
大円の半径 r1 は，小円の半径 r3 の (√2 + √6 - 1) 倍である。
# x1
res[2] |> println
r3*(sqrt(3) + 2)
# y3
res[3] |> println
r3*(1 + sqrt(3))
大円とその中にある 3 個の中円の関係については，算額（その197） に示した。
中円の半径 r2 は，大円の半径 r1 の 3/(3 + 2√3) 倍である。
大円の半径は上述のように r3*(√2 + √6 - 1) なので，r2 = r3*(3 + 3√2 - 2√3 - √6) である。
r2 = 3res[1]/(3 + 2√Sym(3)) |> simplify |> sympy.sqrtdenest |> simplify
r2 |> println
r3*(-2*sqrt(3) - sqrt(6) + 3 + 3*sqrt(2))
小円の半径が 1/2 のとき，中円の半径は 0.664524664599176，直径は 1.329049329198352 である。
r2(r3 => 1/2).evalf() |> println
0.664524664599176
2*0.664524664599176
1.329049329198352
術は以下のようになっている。
小円径 = 1
天 = √12 - 3
A = sqrt((天 + 7)*2) - 1
中円径 = A*天*小円径
1.3290493291983518
小円径に掛ける倍数を 1 つの式にまとめて簡約化すれば，上で得たものと同じであることがわかる。
倍数 = (sqrt((√Sym(12) - 3 + 7)*2) - 1)*(√Sym(12) - 3)
倍数 |> expand |> simplify |> sympy.sqrtdenest |> println
-2*sqrt(3) - sqrt(6) + 3 + 3*sqrt(2)
function draw(r3, more=false) # b:楕円の短半径と，r:円の半径
pyplot(size=(500, 500), showaxis=true, grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r1 = r3*(√2 + √6 - 1)
x1 = r3*(√3 + 2)
y3 = r3*(1 + √3)
r2 = r3*(3 + 3√2 - 2√3 - √6)
plot()
circle2(x1, 0, r1)
circle22(0, r3, r3, :blue)
circle4(r3, y3, r3, :blue)
circle2(x1 - r1 + r2, 0, r2, :green)
circle4(x1 + (r1 - r2)/2, (r1 - r2)√3/2, r2, :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(x1, 0, "大円:r1,(x1,0)", :red, :center, delta=-delta)
point(x1 - r1 + r2, 0, "中円:r2\n(x1-r1+r2,0)", :green, :center, :bottom, delta=delta)
point(0, r3, "小円:r3,(0,r3)", :blue, :right, delta=-3delta, deltax=5delta)
point(r3, y3, "小円:r3,(r3,y3) ", :blue, :right, :vcenter)
end
end;
draw(1/2, true)
