電験１種・2次試験/模範解答（？）その１

気が付けば　27日は電気主任技術者の２次試験でしたが

すっかり忘れていました。

来年はこの日に向けて勉強に励んでいることを願って。

　

試験問題を入手。

まずは受験していればやっていただろう自動制御の問題。

機械・制御の【問４】から解いてみる。

 

　

（１） 

t/2 – 1/4 + 1/4e^-2t をラプラス変換する。 

1/2s^2 – 1/4s + 1/4(s+2)

 

G(s)にステップ入力を与えたとき

1/s・G(s)＝　1/2s^2 – 1/4s + 1/4(s + 2)

G(s)＝1/2ｓ－1/4＋ｓ/4(s + 2)

　　    ＝1/s(s + 2)　   　　　　　　　答：　G(s) = 1/s(s + 2)　

　

　　　　ここまでは問題なし？

 

（２） 

　　G(s) = 1/s^2・(s + 6)  としたとき

　　　  R(s)－Y(s) = E(s)  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(a)

      E(s)・(K₁s + K₂)－2sY(s) = U(s)　・・・・・・・・・(b)

      U(s)・G(s) = U(s)/ s^2・(s + 6) = Y(s)　・・・・・(c)

 

　 (c)式から　U(s) = s^2・(s + 6) ・Y(s)

　 これを(b)式に代入整理すると

　　　Y(s) = ｛(K₁s + K₂) / (s^3 + 6s^2 + 2s) ｝・E(s)         

(a)式に代入すると

　　R(s) = E(s) + ｛(K₁s + K₂) / (s^3 + 6s^2 + 2s) ｝・E(s)

求める目標値R(s)から偏差E(s)までの伝達関数は

E(s)/R(s)＝(s^3 + 6s^2 + 2s) / { s^3 + 6s^2 + (K₁ + 2)s + K₂}　・・・（答）

 

（３）

　　特性根が　（–1+ j √3）　と  （-1 – j √3）

　　残りの特性根を　A とすると

　　　（２）で求めた伝達関数の分母は

　　　　｛s - （–1+ j √3）｝・｛s - （-1 – j √3）｝・(s – A)　の形をとる。

　　　これを整理して

　　　　(s + 1- j √3)・(s + 1+ j √3)・(s – A)

　　　　＝s^3 + (2 - a)・s^2 + (4 – 2A)・s – 4A

（２）で求めた伝達関数の分母と各次数の係数を比較すると

 

(2 - A)　＝　6　　　　　　・・・・・・・・(d)

(4 – 2A)　＝　(K₁ + 2)　　・・・・・・・(e)

– 4A　＝　K₂　　・・・・・・・・・・・・・・(f)

 

(d)から　A = -4

(f)に代入して　K₂＝ 16

(e)式から　K₁＝ 10　　　　　

 

（答）　K₁＝10，　　K₂＝16，　残りの特性根＝ -4

　　　　

ここまでもOK？

 

（４）

　　　（２）の解答

　　　E(s)/R(s)＝(s^3 + 6s^2 + 2s) / { s^3 + 6s^2 + (K₁ + 2)s + K₂}　・・・(ｇ)

　　ランプ関数　r(t) = t をラプラス変換して　

R(s) = 1/s^2　を目標値とすると偏差E(s)は

　　　E(s) = 1/s^2 * (s^3 + 6s^2 + 2s) / { s^3 + 6s^2 + (K₁ + 2)s + K₂}

　　求めるものは定常速度偏差だから　

これを微分して s →　0　の極限値を求める。

E’(s) =　(s^2 + 6s +2)/ { s^3 + 6s^2 + (K₁ + 2)s + K₂}

s → 0 （t → ∞）　の極限では　

定常速度偏差＝2/ K₂

　　　　　題意より　| 2/ K₂ |　≦1/6

K₂≧12　または　K₂≦12　・・・・・(h)

次にフィードバック系が安定であるためには(g)式の分母

　    s^3 + 6s^2 + (K₁ + 2)s + K₂

のすべての係数が＋である条件から　K₂＞0　　　・・・（ｉ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　    K₁＞－2　　・・・（ｊ）

さらにラウス配列を作る。

s^3 ｜           1                      K₁ + 2

s^2 ｜           6                        K₂

s^1 ｜  ｛ 6 (K₁ + 2) - K₂｝/6      0

s^0 ｜          K₂ 

 

安定性の条件は　｛ 6 (K₁ + 2) - K₂｝/6＞0　から

　　　　　　　　　　　　　K₂＜6K₁ + 12　・・・・・（ｋ）

以上の（ｇ）～（ｋ）の条件からK₁、K₂の存在範囲を図示する。

 

 

 

 

　

どうでしょうか？

計算間違いがなければ　比較的簡単な問題と思いますが・・・