今読んでる 『数の世界』 松岡 学

数の拡張の歴史。人類の発展に寄与したハミルトン数学の冒険。リアリティの本質を突き詰めると最も普遍的なリアリティの拡張は数学と論理の拡張である。数の拡張もその一種である。論理の拡張とは発見と飛躍の合理的展開の道具である。Dedekind 次はこれを読むべき

デーデキントは数学の拡張を三段階にわける。弁証法的？

第一段階　新しい演算に伴う新領域の創造

第二段階　演算の性質定義域の拡張

第三段階　数学概念演算定義域の拡張と初期演算の定義放棄

ユリウス・ヴィルヘルム・リヒャルト・デーデキント（デデキント、Julius Wilhelm Richard Dedekind、1831年10月6日 - 1916年2月12日）は、ドイツのブラウンシュヴァイク出身の数学者。代数学・数論が専門分野。1858年からチューリッヒ工科大学教授、1894年からブラウンシュヴァイク工科大学教授を歴任した。彼の名前にちなんだ数学用語としては、デデキント環、デデキント切断などがある。全順序集合 K を、一方が他方の全ての元よりも小であるような二つの組に分けたとする。

K = A ∪ B, A ≠ ∅, B ≠ ∅; a ∈ A, b ∈ B ⇒ a < b.

このような組 (A, B) をデデキント切断という。一般に全順序集合の切断には、四つの場合が考えられる。

1. 下組の最大元と上組の最小元がある。
2. 下組には最大元があるが、上組に最小元がない。
3. 上組には最小元があるが、下組に最大元がない。
4. 下組の最大元、上組の最小元ともにない。

有理数の場合、稠密性から任意の二つの有理数の間に無数の有理数が存在するため、切断1は不可能である。切断2および切断3の場合は、それぞれ下組の最大元、上組の最小元にあたる有理数に対応し、切断4の場合は、無理数に対応する。

上記の方法による実数の定義は、実数の連続性と同値である。 実際、上記の方法で構成された実数に対して切断を行った場合、切断4は不可能となり、切断2もしくは切断3のいずれかになるため、対応する境界の元がただ一つ定まる。これをデデキントの定理と言う。

デデキントの公理編集

<section class="mf-section-2 collapsible-block open-block" id="content-collapsible-block-1" aria-pressed="true" aria-expanded="true" style="font-size: 16px; letter-spacing: normal; clear: left; caret-color: rgb(34, 34, 34); color: rgb(34, 34, 34); "Segoe UI", Roboto, Lato, Helvetica, Arial, sans-serif; -webkit-tap-highlight-color: rgba(0, 0, 0, 0.2);">

詳細は「デデキント切断」を参照

• (A,B)を実数の集合の切断とすれば、Aに最大元があってBに最小元がないか、Bに最小元があってAに最大元がないかのいずれかである。

リヒャルト・デーデキントが提示した。

</section>

デーデキントは数(実数あるいは複素数)の集合が四則の演算 において閉じているときこれを体と定義。物を比較し、それに別の標識を対応させる精神の能力の上に数の理論が立つべきと考えていた。

一度に色々読むのが私の読書　読みたい本が有れば私は幸せ。

雑誌名：Communications in Mathematical Physics, 367 (2019) pp.89--126.

論文タイトル：String-theory realization of modular forms for elliptic curves with complex multiplication

著者： Satoshi Kondo (1) Taizan Watari (2) 

著者所属： 

1 Middle East Technical University, Northern Cyprus Campus, Kalkanli, Mersin 10, Turkey 

2 Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the UniverseUniversity of Tokyo, Kashiwa, Japan 

DOI：https://doi.org/10.1007/s00220-019-03302-0 (2019年2月22日オンライン版掲載, 誌面版は2019年4月号掲載) 

論文のアブストラクト（Communications in Mathematical Physicsのページ） 

プレプリント （arXiv.orgのウェブページ）

略

超弦理論においては、ある種の観測可能量 (a) は「ある操作」のもとでかならず不変 (x) であることが知られています。その「ある操作」の下での不変性は、超弦理論の理論構成上必須の性質なのです。そこで、本研究では、幾何的対象によって定まる、「数」の概念の拡張ぶりを表す関数が (b) 、超弦理論で当該幾何的対象を扱ったときの特定の観測可能量 (a) によって表されることを示しました。この結果、超弦理論の観点からは、「数」の概念の拡張ぶりを表す「情報が詰まった関数」(b) は当然「ある操作」の下で不変である (x) はずだということが分かります (図3を参照)。