- エウクレイデスとユークリッドは同じ人だよ
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奇数の完全数は、現在までに発見されていません。全ての知られている完全数は偶数です。完全数は、エウクレイデスの定理に基づいて形を持ち、「2^(p-1) * (2^p - 1)」という形で表現されます。ここで、「(2^p - 1)」が素数である場合、その数値が完全数となります。
これまで発見された完全数の中で最小のものは6、次に28、そして496、8128があり、全て偶数です。奇数の完全数が存在するかどうかは未解決の問題です。もし将来発見されることがあれば、それが一番小さな奇数の完全数となりますが、現時点ではまだそのような数は知られていません。
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完全数に関する最初の成果は紀元前3世紀ごろのユークリッドである。彼は『原論』（第9巻、命題36）で、「2n − 1 が素数ならば、2n−1(2n − 1)は完全数である」ということを証明した[注釈 1]。2n − 1 で表される数をメルセンヌ数といい、それが素数である場合をメルセンヌ素数という。
古代から、6、28、496、8128の4つの数が完全数であることは知られており、ゲラサのニコマコスの『算術入門』には4つの完全数に関する記述が存在する[3]。
ユークリッドの公式は偶数の完全数しか生成しないが、逆に偶数の完全数が全て 2n−1(2n − 1) の形で書けるかどうかは18世紀までは未解決であった。レオンハルト・オイラーは偶数の完全数がこの形に限ることを証明した[4][5][注釈 2]。
メルセンヌ素数の探索は、エドゥアール・リュカとデリック・ヘンリー・レーマー（英語版）によってメルセンヌ数が素数であるかどうかの効率的な判定法が考案され、1950年代からコンピュータが使われるようになる。現在では分散コンピューティング GIMPS による探求が行われていて、2022年2月現在で判明している最大のメルセンヌ素数は2486万2048桁の数である[7]。
2021年8月現在発見されている完全数はメルセンヌ素数と同じく51個である。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、「偶数の完全数は無数に存在するか？」「奇数の完全数は存在するか？」という問題は未解決である。
1.^ a b c d e f 「高数・数学者列伝」吉永良正『高校への数学』vol.20、1995年8月号
2.^ 淡中忠郎「メルセンヌ数物語」『数学セミナー』、1973年9月号。数学セミナー編集部(1982)、65-67頁に再録されている。
3.^ Nicomachus of Gerasa (1926). Introduction to Arithmetic. Martin Luther D'Oge (trans). The Macmillan Company. pp. 207–212
4.^ a b ハーディ & ライト 2001, p. 317
5.^ a b 和田 1981, pp. 59–61
6.^ Dickson (2005, p. 19)
7.^ "GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1" (Press release) (英語). GIMPS. 21 December 2018. 2022年2月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年2月22日閲覧。
8.^ ハーディ & ライト 2001, p. 316
9.^ Dickson (2005, p. 98)
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33.^ P. Hagis, Jr. and G. L. Cohen, "Every odd perfect number has a prime factor which exceeds 106", Math. Comp. 67 (1998), 1323-1330.
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40.^ Weisstein, Eric W. "Sociable Numbers". mathworld.wolfram.com (英語).
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訃報 「週末って何？」 の マギー・スミスが死亡
