n で割るか n-1 で割るか，それが問題だ

RPubs - Rによるやさしい統計学 - 第一章 Rと統計学
http://rpubs.com/azu/stats_with_R_1

この一つ前の記事を書いた後，Web の大海を漂っていると，標記のページに出会った。


関数を作ってみよう

標本分散

    var() という関数がネイティブにある

不偏分散

    自分で varp() という関数を定義してみる

詳細は2章でー

varp <- function(x) {
    標本分散 <- var(x) * (length(x) - 1/length(x))
    標本分散
}

標本分散と不偏分散という用語（統計量）の使い分けがはっきりしていない。

以下では R の記法（文法で）話をしよう。

x をデータベクトルとすると，「標本の大きさ（サンプルサイズ）」n は，

n <- length(x)

である。

変動 SS（Sum of Squares）は，以下のようであるということは，皆が正しく理解している。

SS <- sum(x-mean(x))

分散 V は

V <- SS / n

不偏分散 U は

U <- SS / (n-1)

これは，初級の統計学の教科書に書かれていることである。

さて，ここからいろいろな問題が生じる。

(1) 不偏分散 U のことを，単に「分散」と呼ぶ人がいる。

統計学では，分散としては不偏分散のことをさすことが多いので，やむを得ないというか，妥当な取扱であるともいえる。しかし，両者を区別したい（区別すべき）場合に，本来の分散のことをなんと呼ぶのか。

(2) 不偏分散 U のことを，「標本分散」と呼ぶ人がいる。これに対して，分散 V は「母分散」と呼ぶ人がいる。

標本分散とは，標本の分散ということである。母分散とは，母集団の分散ということである。
標本の分散は，SS / n によろうが，SS / (n-1) によろうが，どちらも分散である。
本来，母分散というのは観察できないものである。小さな母集団で，データが全て分かっている（測定された）ということならば母分散を計算することはできる。SS を n で割ったもの V を分散と母分散と呼んでも差し支えはないだろう。
しかし，標本データにおいて，SS を n で割ったものを母分散，SS を n-1 で割ったほうを標本分散と呼び分けるのはまちがいである。SS / n は母分散ではないし，SS / n も標本分散なのだから。

(3) このブログの著者（彼が読んだ本「R による易しい統計学」の著者）は，var( ) は不偏分散であり，これに基づいて分散を計算するが，それを「標本分散」と呼ぶ？？として varp( ) という関数を定義しようとしている。
var と varp は Excel がそれぞれの統計量を計算する関数名として使用している（それを踏襲しようというのもどうかと思うが）。

(4) SS / (n-1) という標本分散（不偏分散）は，母分散のよい推定値となるが，SS / n という標本分散は不偏推定値ではなく，母分散の推定値としては不適切である。

まとめよう

SS / n も SS / (n-1） も，共に「標本分散」である
SS / (n-1) は「不偏分散」，SS / n は単に「分散」と呼ぶ
SS / (n-1) は「母分散のよい推定値」になる（不偏推定値）
SS / n も母分散の推定値であるが，「母分散の不偏推定値ではない」

統計検定2級の問題だそうだ

統計検定2級　2013年11月17日試験の誤答：問18
http://ranalytics.blog.fc2.com/blog-entry-53.html

これについて，私は，問題が悪いと思う。

病気 D（D 群）の患者 8 人，健常者（N 群）の 6 人に糖負荷検査を行い，負荷後 30 分の血糖値（mg/dL）を測定した。次の表は，その結果である。

として，血糖値が示されている。

D 群 68, 65, 60, 55, 52, 48, 46, 46
N 群 54, 50, 42, 40, 33, 33

また，それぞれの群の平均と分散は次のとおりである。

として，要約統計量が示されている。

D 群 平均 $¥bar{y}_{D}$ = 55, 分散 $s_{D}^{2}$ = 73.4
N 群 平均 $¥bar{y}_{N}$ = 42, 分散 $s_{N}^{2}$ = 74.8

経験的に，D 群の母分散 $s_{D}^{2}$ と N 群の母分散 $s_{N}^{2}$ は等しいとみなしてよいことがわかっている。これより，2 群の血糖値の上昇値に差があるかどうかを検定したい。次のように $t$ 検定を行うことを考える。

この段階で，私は考える。分散って不偏分散じゃないの？

実際，次の設問で「プールした分散 $s^{2}$ を求める式はどれか」ということで，正解として，

が選ばれるようになっているので，やはり「分散」は「不偏分散」と明示的に書くべきであろう。

次の設問は，「検定統計量 $t$ の値を求める式」を問うているが，それらしい選択肢には，

と書いてある。うっかりすると，以下に示す式

が書いてあるかとまちがいそう。間違えてしまうと正解がないということになるので，なおうろたえるかも。

そもそも，こういう式は

のように書く方がよいのではないか（普通，多くの教科書ではこのように書いてある）。