1. 2020 年日本数学オリンピック予選 問題 1，3，4，5
https://www.imojp.org/archive/mo2020/jmo2020/problems/jmo30yq.html
Q1.
千の位と十の位が 2 であるような 4 桁の正の整数のうち，7 の倍数はいくつあるか。
count = 0
for i = 0:100:900, j = 0:9
(2020 + i + j) % 7 == 0 && (count += 1)
end
println(count) # 14
14
Q3.
2 × 3 のマス目の各マスに 1 以上 6 以下の整数を重複しないように 1 つずつ書き込む。辺を共有して隣りあうどの 2 マスについても書き込まれた整数が互いに素になるように書き込む方法は何通りあるか。ただし，回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数える。
要素数 6 個のベクトルを 2 × 3 行列に対応づける。
1 3 5
2 4 6
g(x, i, j) = gcd(x[i], x[j]) == 1
using Combinatorics
count = 0
a = 1:6
for i in 1:factorial(length(a))
x = nthperm(a, i)
(g(x, 1, 2) && g(x, 3, 4) && g(x, 5, 6) && g(x, 1, 3) && g(x, 3, 5) && g(x, 2, 4) && g(x, 4, 6)) && (count += 1)
end
println(count) # 16
16
Q4.
正の整数 n であって，n^2 と n^3 の桁数の和が 8 であり，n^2 と n^3 の各桁合わせて 1 以上 8 以下の整数がちょうど 1 個ずつ現れるようなものを全て求めよ。
for n in 1:floor(Int, (10^8)^(1/3))
n2n3 = string(n^2) * string(n^3)
length(n2n3) == 8 && length(Set(n2n3)) == 8 && println(n) # 24
end
24
Q5.
正の整数 n は 10 個の整数 x1, x2, ..., x10 を用いて (x1^2-1)(x2^2-2)…(x10^2-10) と書ける。このような n としてありうる最小の値を求めよ。
ブルートフォースでやっつける。
using Combinatorics
all_perm(x, n) = Iterators.product([x for i = 1:n]...)
function q5()
c = 1:10
n = typemax(Int64)
amin = []
for i in all_perm(0:4, 10)
i[1] != 0 && continue
a = [x for x in i]
b = prod(a .^ 2 .- c)
0 < b < n && (n = b; amin = a)
end
println(n)
println(amin)
end
@time q5() # 84
84
[0, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 3]
7.724304 seconds (49.21 M allocations: 5.958 GiB, 5.45% gc time, 3.39% compilation time)
