算額（その1196）

算額（その1196）

(17) 京都府京都市東山区清水 清水寺 明治25年(1892)
近畿数学史学会：近畿の算額「数学の絵馬を訪ねて」，平成4年5月16日 初版第一刷，大阪教育図書株式会社，大阪市.
キーワード：円4個，長方形，斜線

長方形の中に 1 本の斜線を引き，甲円 1 個，乙円 1 個，等円 2 個を容れる。甲円の直径が与えられたとき，等円の直径を求めよ。

長方形の長辺，短辺の長さを a, b
斜線と長方形の短辺の交点座標を (0, c)
甲円の半径と中心座標を r1, (a - r1, r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (x2, r2)
丙円の半径と中心座標を r3, (r3, r3)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positiveb, b::positive, c::positive,
     r1::positive, r2::positive, x2::positive,
     r3::positive
eq1 = dist2(0, c, a, b, r3, b - r3, r3) |> factor |> (x -> x/(a*(b - c)))
eq2 = dist2(0, c, a, b, r3, r3, r3)/a
eq3 = dist2(0, c, a, b, x2, r2, r2)
eq4 = dist2(0, c, a, b, a - r1, r1, r1)/a
eq5 = (a - r1 - x2)^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2 |> expand
eq6 = (x2 - r3)^2 + (r2 - r3)^2 - (r2 + r3)^2 |> expand;

using NLsolve

function nls(func, params...; ini = [0.0])
   if typeof(ini) <: Number
       r = nlsolve((vout, vin) -> vout[1] = func(vin[1], params..., [ini]), ftol=big"1e-40")
       v = r.zero[1]
   else
       r = nlsolve((vout, vin)->vout .= func(vin, params...), ini, ftol=big"1e-40")
       v = r.zero
   end
   return Float64.(v), r.f_converged
end;

function H(u)
   (a, b, c, r2, x2, r3) = u
   return [
       a*b - a*c - 2*a*r3 - 2*b*r3 + 2*c*r3 + 2*r3^2,  # eq1
       a*c^2 - 2*a*c*r3 + 2*b*c*r3 - 2*b*r3^2 - 2*c^2*r3 + 2*c*r3^2,  # eq2
       a^2*c^2 - 2*a^2*c*r2 + 2*a*b*c*x2 - 2*a*b*r2*x2 - 2*a*c^2*x2 + 2*a*c*r2*x2 - b^2*r2^2 + b^2*x2^2 + 2*b*c*r2^2 - 2*b*c*x2^2 - c^2*r2^2 + c^2*x2^2,  # eq3
       a*b^2 - 2*a*b*r1 - 2*b^2*r1 + 2*b*c*r1 + 2*b*r1^2 - 2*c*r1^2,  # eq4
       a^2 - 2*a*r1 - 2*a*x2 + r1^2 - 4*r1*r2 + 2*r1*x2 + x2^2,  # eq5
       -4*r2*r3 + r3^2 - 2*r3*x2 + x2^2,  # eq6
   ]
end;

r1 = 1/2
iniv = BigFloat[2.3, 1.2, 0.5, 0.38, 0.94, 0.29]
res = nls(H, ini=iniv)

   ([2.3106100960653437, 1.1638906971405691, 0.5, 0.37762626873430205, 0.9415574293824758, 0.28520319767638264], true)

甲円の直径が x 寸のとき，等円の直径は 0.37762626873430205x 寸である。

function draw(r1, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (a, b, c, r2, x2, r3) = res[1]
   @printf("r1 = %g;  a = %g;  b = %g;  c = %g;  r2 = %g;  x2 = %g;  r3 = %g\n", r1, a, b, c, r2, x2, r3)
   plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, b, b, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle(a - r1, r1, r1)
   circle(x2, r2, r2, :blue)
   circle(r3, r3, r3, :magenta)
   circle(r3, b - r3, r3, :magenta)
   segment(0, c, a, b, :orange)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a - r1, r1, "甲円:r1,(a-r1,r1)", :red, :center, delta=-delta)
       point(x2, r2, "乙円:r2,(x2,r2)", :blue, :center, delta=-delta)
       point(r3, r3, "等円:r3\n(r3,r3)", :magenta, :center, delta=-delta)
       point(r3, b - r3, "等円:r3\n(r3,b-r3)", :magenta, :center, delta=-delta)
       point(0, c, "c ", :orange, :right, :vcenter)
       point(a, b, "(a,b)", :green, :right, :bottom,delta=delta)
       xlims!(-8delta, a + 5delta)
   end
end;

draw(1/2, true)

算額（その1195）

算額（その1195）

(16) 京都府京都市右京区山ノ内宮脇町 山王神社 明治23年(1890)
近畿数学史学会：近畿の算額「数学の絵馬を訪ねて」，平成4年5月16日 初版第一刷，大阪教育図書株式会社，大阪市.
キーワード：円，矢，弦

外円の中に矢，弦，内円を容れる。矢が 1 寸，弦が 8 寸のとき，内円の直径はいかほどか。

注：原文には「弧」とあるが，図に示されているのは「弦」である。

矢，弦をそのまま「矢」，「弦」
外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
弦と外円の交点座標を (弦/2, sqrt(R^2 - (R - 矢)^2))
とおき，以下の方程式を解く。

内円の直径は r = 2R - 矢 である。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms 矢::positiveb, 弦::positive, R::positive
eq1 = (弦/2)^2 + (R - 矢)^2 - R^2
res = solve(eq1, R)[1]
res |> println

   弦^2/(8*矢) + 矢/2

矢が 1 寸，弦が 8 寸のとき，外円の半径は 弦^2/(8*矢) + 矢/2 = 8.5 寸である。
内円の半径は 2*8.5 - 矢 = 16 寸である。

res(矢 => 1, 弦 => 8).evalf() |> println

   8.50000000000000

function draw(矢, 弦, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   R = 弦^2/(8*矢) + 矢/2
   x = 弦/2
   r = (2R - 矢)/2
   @printf("矢，弦が %g, %g のとき，外円の直径は %g，内円の直径は %g である。\n", 矢, 弦, 2R, 2r)
   plot()
   circle(0, 0, R)
   circle(0, r - R, r, :blue)
   segment(-x, R - 矢, x, R - 矢, :green)
   segment(0, R, 0, R - 矢, :magenta)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R, "R", :red, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(弦/2, R - 矢, " (弦/2,R-矢)", :green, :left, :vcenter)
       point(0, r - R, "内円:r,(0,r-R)", :blue, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

draw(1, 8, true)

算額（その1194）

算額（その1194）

(16) 京都府京都市右京区山ノ内宮脇町 山王神社 明治23年(1890)
近畿数学史学会：近畿の算額「数学の絵馬を訪ねて」，平成4年5月16日 初版第一刷，大阪教育図書株式会社，大阪市.
キーワード：正三角形，直角三角形

直角三角形の中に正三角形を容れる。鈎が 3 寸，股が 4 寸のとき，正三角形の一辺の長さはいかほどか。

直角の頂点を原点とし，左右反転して考える。

鈎，股をそのまま変数の「鈎」，「股」
正三角形の一辺の長さを a
とおき，以下の方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms 鈎::positiveb, 股::positive, a::positive
eq1 = (√Sym(3)a/2)/(股 - a/2) - 鈎/股
res = solve(eq1, a)[1]
res |> println

   2*股*鈎/(sqrt(3)*股 + 鈎)

鈎が 3 寸，股が 4 寸のとき，正三角形の一辺の長さは 2*股*鈎/(sqrt(3)*股 + 鈎) = 2.41735583401570 寸である。

res(鈎 => 3, 股 => 4).evalf() |> println

   2.41735583401570

function draw(鈎, 股, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   a = 2股*鈎/(√3股 + 鈎)
   @printf("鈎，股が %g, %g のとき，正三角形の一辺の長さは %g である。\n", 鈎, 股, a)
   plot([0, 股, 0, 0], [0, 0, 鈎, 0], color=:blue, lw=0.5)
   plot!([0, a, a/2, 0], [0, 0, √3a/2, 0], color=:red, lw=0.5)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, " a", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(a/2, √3a/2, " (a/2, √3a/2)", :red, :left, :vcenter)
       point(股, 0, " 股", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, 鈎, " 鈎", :blue, :left, :vcenter)
   end
end;

draw(3, 4, true)

算額（その1193）

算額（その1193）

(15) 京都府夜久野町字額田 妙竜寺 明治20年(1887)
近畿数学史学会：近畿の算額「数学の絵馬を訪ねて」，平成4年5月16日 初版第一刷，大阪教育図書株式会社，大阪市.
キーワード：円7個，長方形，対角線

長方形の中に対角線を引き，花円，鳥円，風円，月円を容れる。花円，鳥円は月円の中に入っている。風円の直径が 3 寸のとき，花円の直径はいかほどか。

花円の半径と中心座標を r1, (r4 - r1, b - 2r2)
鳥円の半径と中心座標を r2, (0, b - r2)
風円の半径と中心座標を r3, (r3, r3)
月円の半径と中心座標を r4, (0, b - r4); r4 = 2r2
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms b::positive, r1::positive,
     r2::positive, r3::positive, r4::positive
@syms b, r1, r2, r3, r4
r4 = 2r2
eq1 = (r4 - r1)^2 + r2^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = dist2(-2r3, 0, 2r3, b, r3, r3, r3)/(8b*r3^2)
eq3 = dist2(-2r3, 0, 2r3, b, 0, b - r4, r4)/4b;

res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, r2, b))[2]

   (2*r3/9, r3/3, 3*r3)

花円，鳥円の半径 r1, r2 は 風円の半径 r3 の 2/9, 1/3 倍である。月円の半径は鳥円の半径の 2 倍である。
風円の直径が 3 寸のとき，花円，鳥円，月円の直径は 0.666667 寸, 1 寸, 2 寸である。

function draw(r3, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2, b) = r3 .* (2/9, 1/3, 3)
   r4 = 2r2
   @printf("風円の直径が %g のとき，花円，鳥円，月円の直径は %g, %g, %g である。\n", 2r3, 2r1, 2r2, 2r4)
   plot(2r3 .* [1, 1, -1, -1, 1], [0, b, b, 0, 0], color=:blue, lw=0.5)
   circle2(r4 - r1, b - r4, r1)
   circle(0, b - r2, r2, :blue)
   circle(0, b - 3r2, r2, :blue)
   circle2(r3, r3, r3, :green)
   circle(0, b - r4, r4, :orange)
   segment(-2r3, 0, 2r3, b, :magenta)
   segment(2r3, 0, -2r3, b, :magenta)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(r4 - r1, b - 2r2, " 花円:r1,(r4-r1,b-2r2)", :red, :left, :vcenter)
       point(0, b - r2, " 鳥円:r1,(0,b-r2)", :blue, :left, :vcenter)
       point(r3, r3, " 風円:r3,(r3,r3)", :green, :left, :vcenter)
       point(0, b - r4, "", :orange, :right, delta=-delta/2)
       point(r1 - r4, b - r2/2, "月円:r4\n(0,b-r4)", :orange, :right, deltax=-4delta, mark=false)
       point(2r3, b, "(2r3,b)", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;

draw(3/2, true)