算額（その1256）

算額（その1256）

百十四 群馬県富岡市神成 宇芸神社 明治3年(1870)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円4個，長方形

長方形の中に大円と小円を 2 個ずつ容れる。大円と小円の直径の和が 31.25 寸のとき，小円の直径はいかほどか。

大円の半径と中心座標を r1, (r1, 0)
小円の半径と中心座標を r2, (0, r1 - r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。
長方形の長辺と短辺はそれぞれ，4r1, 2r1 である。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive, 径和::positive;
eq1 = r1^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = r1 + r2 - 径和/2
res = solve([eq1, eq2], (r1, r2))[1];

大円の半径 r1 は，径和の 2/5 倍である。
径和が 31.25 寸のとき，大円の直径は 25 である。

res[1] |> println
res[1](径和 => 31.25) |> println

   2*径和/5
   12.5000000000000

小円の半径 r2 は，径和の 1/10 倍である。
径和が 31.25 寸のとき，小円の直径は 6.25 寸である。

res[2] |> println
res[2](径和 => 31.25) |> println

   径和/10
   3.12500000000000

function draw(径和, more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2) = (2*径和/5, 径和/10)
   @printf("大円，小円の直径の和が %g のとき，大円，小円の直径は %g, %g である。\n", 径和, 2r1, 2r2)
   plot([2r1, 2r1, -2r1, -2r1, 2r1], [-r1, r1, r1, -r1, -r1], color=:green, lw=0.5)
   circle2(r1, 0, r1)
   circle22(0, r1 - r2, r2, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(r1, 0, "大円:r1,(r1,0)", :red, :center, delta=-delta)
       point(0, r1 - r2, " 小円:r2,(0,r1-r2)", :blue, :left, :vcenter)
       point(2r1, r1, "(2r1,r1)", :green, :right, :bottom, delta=delta)
   end
end;

draw(31.25, true)

算額（その1255）

算額（その1255）

二十五 群馬県高崎市木部町 木部村鎮守社 文化10年(1813)
百十　群馬県高崎市山名町 八幡宮 慶応3年(1867)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円2個，弦，矢

大小 2 個の円が交差している。共通弦が 8 寸，大円，小円の直径の和が 21.6 寸，大円，小円の矢の和が 3.6 寸のとき，大円の直径はいかほどか。

共通弦を「弦」，直径の和を「径和」，矢の和を「矢和」
大円の半径と中心座標を r1, (0, 0)
小円の半径と中心座標を r2, (0, r1 + r2 - 矢和)
大円と小円の交点座標を (x, y)
とおき，以下の連立方程式を解く。
ただし，一度に解くと SymPy では簡約化できないほど複雑な式になるので，逐次解いていく。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms x::positive, y::positive,
     r1::positive, r2::positive,
     弦::positive, 径和::positive, 矢和::positive;
x = 弦/2
eq1 = x^2 + y^2 - r1^2
eq2 = x^2 + (y - (r1 + r2 - 矢和))^2 - r2^2
eq3 = r1 + r2 - 径和/2;

まず，eq1 から y，eq3 から r2 を求め，eq2 に代入し eq12 を作る。

ans_y = solve(eq1, y)[1];
ans_y |> println

   sqrt(4*r1^2 - 弦^2)/2

ans_r2 = solve(eq3, r2)[1]
ans_r2 |> println

   -r1 + 径和/2

eq12 = eq2(y => ans_y, r2 => ans_r2);

eq12 を解いて r1 を求める。

弦 = 8, 径和 = 21.6, 矢和 = 3.6 のとき，r1 = 5.8 である。

ans_r1 = solve(eq12, r1)[2]
ans_r1 |> println
ans_r1(弦 => 8, 径和 => 21.6, 矢和 => 3.6) |> println

   (径和*sqrt(矢和)*(径和 - 矢和) + sqrt(-(径和 - 矢和)*(弦^2 - 径和*矢和 + 矢和^2))*(径和 - 2*矢和))/(4*sqrt(矢和)*(径和 - 矢和))
   5.80000000000000

y, r2 は既知の値を代入すれば，求まる。

ans_y |> println
ans_y(弦 => 8, r1 => ans_r1(弦 => 8, 径和 => 21.6, 矢和 => 3.6).evalf()) |> println

   sqrt(4*r1^2 - 弦^2)/2
   4.20000000000000

ans_r2 |> println
ans_r2(径和 => 21.6, r1 => ans_r1(弦 => 8, 径和 => 21.6, 矢和 => 3.6).evalf()) |> println

   -r1 + 径和/2
   5.00000000000000

function draw(弦, 径和, 矢和, more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = (径和*sqrt(矢和)*(径和 - 矢和) + sqrt(-(径和 - 矢和)*(弦^2 - 径和*矢和 + 矢和^2))*(径和 - 2*矢和))/(4*sqrt(矢和)*(径和 - 矢和))
   y = sqrt(4*r1^2 - 弦^2)/2
   r2 = -r1 + 径和/2
   x = 弦/2
   plot()
   circle(0, 0, r1)
   circle(0, r1 + r2 - 矢和, r2, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, 0, "大円:r1,(0,0)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, r1 + r2 - 矢和, "小円:r1,(0,r1+r2-矢和)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(x, y, " (x,y)", :green, :left, :vcenter)
       dimension_line(-x, y, x, y, "弦", delta=-2delta, deltax = -3delta)
       dimension_line(0, r1, 0, r1 - 矢和, "矢和", :green, delta=3delta, deltax = 3delta)
       point(0, r1, " r1", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, r1 - 矢和, " r1-矢和", :blue, :left, delta=-delta/2)
   end
end;

draw(8, 21.6, 3.6, true)

 

算額（その1254）

算額（その1254）

百八 群馬県邑楽郡板倉町板倉 雷電神社 慶応3年(1867)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円4個，半円2個，長方形

長方形の中に等円 4 個，半円 2 個を容れる。長方形の短辺が 3 寸，長辺が 6 寸のとき，等円の直径はいかほどか。

長方形の短辺，長辺を a, b; b = 2a, b = r1
半円の半径と中心座標を r1, (0, 0), (0, r1)
等円の半径と中心座標を r2, (x2, r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive, x2::positive;
eq1 = x2^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = x2^2 + r2^2 - (r1 - r2)^2
res = solve([eq1, eq2], (r2, x2))[1]
res |> println

   (r1/6, sqrt(6)*r1/3)

等円の半径 r2 は，半円の半径 r1（長方形の短辺） の 1/6 である。
長方形の長辺が 6 寸のとき，等円の直径は 1 寸である。

function draw(a, b, more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = a
   (r2, x2) = (r1/6, sqrt(6)*r1/3)
   @printf("長方形の長辺，短辺が %g, %g のとき，等円の直径は %g である。\n", b, a, 2r2)
   plot([a, a, -a, -a, a], [0, a, a, 0, 0], color=:blue, lw=0.5)
   circle2(x2, r1 - r2, r2)
   circle2(x2, r2, r2)
   circle(0, 0, r1, :green, beginangle=0, endangle=180)
   circle(0, r1, r1, :green, beginangle=180, endangle=360)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(x2, r2, "等円:r2\n(x2,r2)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(r1, r1, "(r1,r1)", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;

draw(3, 6, true)

算額（その1253）

算額（その1253）

七十八 群馬県甘楽郡下仁田町上小坂 中之嶽神社 安政3年(1856)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円8個

外円 2 個が交わり，区画された領域に大円 2 個，小円 4 個を容れる。外円の直径が 1 寸のとき，小円の直径が最大になるときの大円の直径はいかほどか。

外円の半径と中心座標を R, (x1, 0); x1 = r1
大円の半径と中心座標を r1, (x1 + R - r1, 0); x1 + R - r1 = R
小円の半径と中心座標を r2, (x2, y2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, x1::positive,
     r2::positive, x2::positive, y2::positive;
x1 = r1
eq1 = (x2 - x1)^2 + y2^2 - (R - r2)^2
eq2 = (x1 + R - r1 - x2)^2 + y2^2 - (r1 + r2)^2
eq3 = (x1 + x2)^2 + y2^2 - (R + r2)^2;
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r2, x2, y2))[1]

   (-r1*(-R + r1)*(R + r1)/(R^2 + r1^2), -R*(-R + r1)*(R + r1)/(R^2 + r1^2), 2*R*r1*sqrt(R - r1)*sqrt(R + r1)/(R^2 + r1^2))

ans_r2 = res[1]
ans_r2 |> println

   -r1*(-R + r1)*(R + r1)/(R^2 + r1^2)

小円の半径 r2 は，大円の半径 r1 と外円の半径 R の関数である。

たとえば，R = 5/2 のときには，下図のように，r1 が 0.2 〜 0.3 の間で r2 が最大になることがわかる。

pyplot(size=(300, 150), grid=false, aspectratio=:none, label="")
plot(ans_r2(R => 1/2), xlims=(0, 0.5), xlabel="r1", ylabel="r2")

r1 がどのような値をとると r2 が最大になるかを知るためには，ans_r2 の導関数をとり，それが 0 になるときの r1 を求めればよい。

ans_r1 = solve(diff(ans_r2, r1), r1)[1]
ans_r1 |> println

   R*sqrt(-2 + sqrt(5))

ans_r2 = ans_r2(r1 => ans_r1) |> simplify |> factor
ans_r2 |> println

   R*sqrt(-2 + sqrt(5))*(-1 + sqrt(5))/2

r1 が R*sqrt(-2 + sqrt(5)) のとき，r2 が最大値 R*sqrt(-2 + sqrt(5))*(-1 + sqrt(5))/2 になる。

外円の直径が 1 寸のとき，大円の直径が 0.485868271756646 寸のときに，小円の直径は最大値 0.300283106000778 寸になる。

2ans_r1(R => 1/2).evalf() |> println
2ans_r2(R => 1/2).evalf() |> println

   0.485868271756646
   0.300283106000778

function draw(R, more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = R*sqrt(-2 + sqrt(5))
   (r2, x2, y2) = (-r1*(-R + r1)*(R + r1)/(R^2 + r1^2), -R*(-R + r1)*(R + r1)/(R^2 + r1^2), 2*R*r1*sqrt(R - r1)*sqrt(R + r1)/(R^2 + r1^2))
   @printf("外円の直径が %g のとき，大円の直径が %g のときに小円の直径は最大値 %g になる。\n", 2R, 2r1, 2r2)
   plot()
   circle2(r1, 0, R)
   circle2(R, 0, r1, :blue)
   circle4(x2, y2, r2, :green)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(r1, 0, "外円:R,(r1,0)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(R, 0, "大円:r1,(R,0)", :blue, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(x2, y2, "小円:r2\n(x2,y2)", :green, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

draw(1/2, true)

算額（その1252）

算額（その1252）

七十四 群馬県甘楽郡妙義町菅原 菅原神社 嘉永4年(1851)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円11個

5 個の大円が交差する隙間に 6 個の小円を容れる。大円の直径が 5 寸のとき，小円の直径はいかほどか。



大円の半径と中心座標を r1, (0, r1 + r2)
小円の半径と中心座標を r2, (0, 0), (x2, y2); y2 = x2*tand(54)
とおき，以下の連立方程式を解く。

一度に解くと r2 を表す式がとてつもなく複雑になるので，まず eq2 から x2 を求め，その解を eq1 に代入して r2 を求める。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive, x2::positive, y2::positive;
y2 = x2*tand(Sym(54))
eq1 = x2^2 + (r1 + r2 - y2)^2 - (r1 - r2)^2
eq2 = x2 - (r1 + r2)*cosd(Sym(18))/2;

ans_x2 = solve(eq2, x2)[1];
eq11 = eq1(x2 => ans_x2);

@syms d
ans_r2 = solve(eq11, r2)[1]
ans_r2 = solve(eq11, r2)[1]/r1 |> x -> apart(x, d)*r1 |> simplify
ans_r2 |> println
(ans_r2.evalf()) |> println
ans_r2(r1 => 5/2).evalf() |> println

   r1*(-2*sqrt(10*sqrt(5) + 50) - 4*sqrt(5) + 11 + 4*sqrt(2*sqrt(5) + 10))
   0.259616183682498*r1
   0.649040459206249

小円の半径 r2 は，大円の半径 r1 の (-2*sqrt(10*sqrt(5) + 50) - 4*sqrt(5) + 11 + 4*sqrt(2*sqrt(5) + 10)) = 0.259616183682498 倍である。
大円の直径が 5 寸のとき，小円の直径は 1.29808091841249 寸である。

ans_x2 = ans_x2(r2 => ans_r2) |> simplify
ans_x2 |> println
ans_x2.evalf() |> println
ans_x2(r1 => 5/2).evalf() |> println

   r1*(-sqrt(10*sqrt(5) + 50) - 3*sqrt(5) + 5 + 3*sqrt(2*sqrt(5) + 10))/2
   0.598983089761036*r1
   1.49745772440259

大円の直径が 5 寸のとき，小円の半径の中心座標は (3.743644311006475 寸, 5.152684346344076 寸) である。

1.49745772440259*5/2, 1.49745772440259*5/2*tand(54)

   (3.743644311006475, 5.152684346344076)

function draw(r1, more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = r1*(11 + 4*sqrt(2√5 + 10) - 2sqrt(10√5 + 50) - 4√5)
   x2 = r1*( 5 + 3*sqrt(2√5 + 10) -  sqrt(10√5 + 50) - 3√5)/2
   y2 = x2*tand(54)
   @printf("大円の直径が %g のとき，小円の直径は %g である。\n", 2r1, 2r2)
   plot()
   rotate(0, r1 + r2, r1, angle=72)
   rotate(x2, y2, r2, :blue, angle=72)
   circle(0, 0, r2, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(x2, y2, " 小円:r2,(x1,y2)", :blue, :left, :vcenter)
       point(0, r1 + r2, "大円:r1,(0,r1+r2)", :red, :center, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;

draw(5/2, true)

算額（その1251）

算額（その1251）

七十四 群馬県甘楽郡妙義町菅原 菅原神社 嘉永4年(1851)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：長方形，正五角形3個

長方形の中に正五角形 3 個を容れる。長方形の短辺（直平）が与えられたとき，長方形の長辺（直長）を得る術を述べよ。

問題としては，正五角形の一辺の長さを与えて，直平，直長を求めさせるほうが素直な気がする。

1.　単純に x-y 座標を順に求める方法

正五角形の一辺の長さを a
点 α の座標を (αx, αy)
とおく。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive;
cosd2(θ) = 2cosd(θ/2)^2 - 1
sind2(θ) = 2sind(θ/2)*cosd(θ/2)
(s36, s72, s18) = (Sym(36), Sym(72), Sym(18))
(Ax, Ay) = (0, a*sind(s36))
(Bx, By) = (Ax + a*cosd(s36), 0)
(Cx, Cy) = (Bx + a*cosd(s36), By + a*sind(s36))
(Dx, Dy) = (Cx + a, Cy)
(Ex, Ey) = (Dx +a*cosd2(s72), Dy + a*sind2(s72))
(Fx, Fy) = (Ex + a*cosd(s36), Ey + a*sind(s36))
(Gx, Gy) = (Fx - a*cosd2(s72), Fy + a*sind2(s72))
直長 = Fx |> simplify
直平 = Gy |> simplify |> sympy.sqrtdenest |> factor;

直長 |> println
直長(a => 1).evalf() |> println
直平 |> println
直平(a => 1).evalf() |> println

   a*(3 + 2*sqrt(5))/2
   3.73606797749979
   a*sqrt(5 - sqrt(5))*(sqrt(10) + 3*sqrt(2))/4
   3.07768353717525

@syms d
f = apart(直長/直平, d) |> simplify
f |> println
f.evalf() |> println

   sqrt(5 - sqrt(5))*(5*sqrt(2) + 7*sqrt(10))/40
   1.21392207235472

直長は直平の sqrt(5 - √5)*(5√2 + 7√10)/40 = 1.21392207235472 倍である。

3.07768353717525 * sqrt(5 - √5)*(5√2 + 7√10)/40

   3.7360679774997854

2.　正五角形の2点間の距離の累和を求める方法

正五角形の一辺の長さを a，正五角形の外接円の半径を r とする。
CD = a = 2r*sind(36)
PD = r = a/sind(36)
PL = r*cosd(36)
IL = r*(1 + cosd(36))
長辺は AC + CL + IF = EJ + a/2 + EJ = 2(2a*cosd(36)) + a/2
短辺は BN + EM = 2IL = 2(IP + PL) = 2(r + r*cosd(36)) = 2r(1 + cosd(36)) = 2a/2sind(36)*(1 + cosd(36)) = a/sind(36)*(1 + cosd(36))

@syms a::positive, d;
直長 = 2(2a*cosd(Sym(36))) + a/2 |> simplify 
直平 = a/sind(Sym(36))*(1 + cosd(Sym(36))) |> simplify |> factor;

直長 |> println
直長(a => 1).evalf() |> println
直平 |> println
直平(a => 1).evalf() |> println

   a*(3 + 2*sqrt(5))/2
   3.73606797749979
   sqrt(2)*a*(sqrt(5) + 5)/(2*sqrt(5 - sqrt(5)))
   3.07768353717525

直平の式の見かけは前述のものと異なるが，直長/直平の比は同じである。

@syms d
f = apart(直長/直平, d) |> simplify
f |> println
f.evalf() |> println

   sqrt(5 - sqrt(5))*(5*sqrt(2) + 7*sqrt(10))/40
   1.21392207235472

直長は直平の sqrt(5 - √5)*(5√2 + 7√10)/40 = 1.21392207235472 倍である。

3.07768353717525 * sqrt(5 - √5)*(5√2 + 7√10)/40

   3.7360679774997854

3.　正五角形の一辺の長さを a としたときの図(a = 1)

cosd2(θ) = 2cosd(θ/2)^2 - 1
sind2(θ) = 2sind(θ/2)*cosd(θ/2)
function draw(a, more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   EJ = 2a*cosd(36)
   r = a/2sind(36)
   (Ax, Ay) = (0, a*sind(36))
   (Bx, By) = (Ax + a*cosd(36), 0)
   (Cx, Cy) = (Bx + a*cosd(36), By + a*sind(36))
   (Dx, Dy) = (Cx + a, Cy)
   (Ex, Ey) = (Dx +a*cosd2(72), Dy + a*sind2(72))
   (Fx, Fy) = (Ex + a*cosd(36), Ey + a*sind(36))
   (Gx, Gy) = (Fx - a*cosd2(72), Fy + a*sind2(72))
   (Hx, Hy) = (Gx - a, Gy)
   (Ix, Iy) = (Fx - EJ, Fy)
   (Jx, Jy) = (Ex - EJ, Ey)
   (Kx, Ky) = (Jx - a, Jy)
   直長 = a*(3 + 2√5)/2
   直平 = √2*a*(√5 + 5)/(2*sqrt(5 - √5))
   plot([Ax, Bx, Cx, Dx, Ex, Fx, Gx, Hx, Ix, Jx, Kx, Ax],
        [Ay, By, Cy, Dy, Ey, Fy, Gy, Hy, Iy, Jy, Ky, Ay],
        color=:blue, lw=0.5)
   plot!([0, 直長, 直長, 0, 0], [0, 0, 直平, 直平, 0], color=:green, lw=0.5)
   segment(Ex, Ey, Ix, Iy, :blue)
   segment(Cx, Cy, Jx, Jy, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       circle(EJ + r*sind(36), Iy - r, r, :red)
       point(Ax, Ay, " A", :green, :left, :vcenter)
       point(Bx, By, " B")
       point(Cx, Cy, " C")
       point(Dx, Dy, " D")
       point(Ex, Ey, " E")
       point(Fx, Fy, " F")
       point(Gx, Gy, " G")
       point(Hx, Hy, " H")
       point(Ix, Iy, "I ", :green, :right, :bottom)
       point(Jx, Jy, " J")
       point(Kx, Ky, " K")
       point(EJ + r*sind(36), Iy - r, " P", :red)
       point(EJ + r*sind(36), Cy, " L", :green)
   else
       plot!(showaxis=false)
   end
end;

draw(1, true)

draw(1, false)